090. Matura 1924 z matematyki: ekonomia i filantropia w jednym zadaniu. Rozwiązanie.

Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek, by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.

Tak brzmiało jedno z zadań, z którymi zmagali się poznańscy maturzyści w roku 1924. Jego treść zaczerpnąłem ze Sprawozdania dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24 (zadanie dla oddziału typu starego; pisownia nazwy szkoły oryginalna). Na początku lipca umieściłem na blogu analizę treści tego zadania oraz rozwiązanie w Excelu (tego typu zadania idealnie wpisują się w możliwości arkusza kalkulacyjnego). Dziś przedstawię rozwiązanie „analogowe”, czyli takie, które było w zasięgu maturzystów sprzed dziewięćdziesięciu sześciu lat.
Zadanie sprowokowało ciekawą dyskusję mailową. Szczególne podziękowania dla Szymona z Cieszyna, którego rozumowanie (i wątpliwości) są wykorzystane w tym artykule. „Honorarium” (przewodnik Pascala „Nowy pomysł na Polskę” i kilka gadżetów towarzyszących) zostało już wysłane pocztą.

Na zdjęciu powyżej przedwojenni polscy matematycy Stefan Banach i Otto Nikodym dyskutujący zawzięcie na krakowskich Plantach. Zapewne o matematyce...

Jak to zadanie rozwiązywał przedwojenny maturzysta?

W tym miejscu oddaję głos Szymonowi, który napisał tak:

Kapitał po dziesięciu latach jest różnicą lokaty [oprocentowanej] 3,5% rocznie z kapitalizacją na końcu [każdego] roku oraz dziesięcioletniej renty [płatnej] z dołu o wypłacie 4.200 zł.

Rozwiązaniem zadania jest kwota odsetek od tego kapitału, czyli 3,5% od tak obliczonej wartości.

Minimalna liczba słów, zawierająca jednak całość rozumowania. Widać, że ich autor jest umysłem ścisłym. I to jakim! Prowadzi bloga https://byc-matematykiem.pl, którego polecam wszystkim miłośnikom matematyki. 

Dla odmiany ekonomia jest nauką społeczną, opiera się na mówieniu, więc mi wyjaśnienie tego zagadnienia zajęło dwa ekrany tekstu (por. post 072.). Warto kontaktować się z czytelnikami, bo można się czegoś nauczyć. 😊

Rzeczywiście w tym zadaniu mamy dwie operacje finansowe. Jedną jest lokata, która po dziesięciu latach (dziesięciu kapitalizacjach odsetek) zwiększy swą wartość do:

gdzie K to lokowana kwota (specjalnie nie określam jej wartości, bo budzi wątpliwości).

Druga operacja to wypłaty tej samej kwoty 4.200 zł w stałych (rocznych) odstępach czasu. W matematyce finansowej taki ciąg nosi nazwę renty i wyprowadzone są wzory na końcową sumę takich płatności w zależności od tego, czy płatność następuje z góry, czy z dołu.

W treści naszego zadania pada określenie „płatne z góry”. Można na to zadania patrzeć jak na rentę płatną z dołu (czyli po zaksięgowaniu rocznych odsetek), mając jednak w głowie kwestię tego, jaka kwota podlegała oprocentowaniu w pierwszym roku (150.000 czy 145.800).

Wzór na sumę wartości dziesięcioletniej renty płatnej z dołu dla wartości z tego zadania wygląda tak:

Pozostaje tylko zdecydować się na wartość K, obliczyć obie wartości, odjąć od siebie, przemnożyć przez 3,5% i wręczyć arkusz odpowiedzi komisji egzaminacyjnej.

Spis wątpliwości.

W zadaniu są dwie niejasności.

O pierwszej pisałem trzy tygodnie temu. Dotyczy wartości lokowanej kwoty i wynika z niejasnego moim zdaniem określenia „z dochodów […] płatne z góry”. Jeśli płatność następuje „z dochodu”, to konieczne jest naliczenie odsetek, czyli pierwsza płatność następuje po roku (i trudno ją nazwać płatnością z góry). Jeśli płatność następuje z góry, to w przypadku pierwszej płatności trudno mówić o wypłacie „z dochodu”, bo jest realizowana z zapisanego kapitału.

W zależności od wyboru rozumowania oprocentowaniu będzie podlegać albo kwota 150.000 złotych albo 145.800 i to oczywiście ma wpływ na ostateczną odpowiedź.

Druga wątpliwość związana jest z długością życia służącego, a dotyczy konkretnie tego, czy służący zdąży przed śmiercią odebrać 1.200 złotych po dziesiątym roku lokaty czy nie. Gdyby treść zadania mówiła, że będzie żył dziewięć i pół roku, wątpliwości by nie było. Jeśli rozumieć dosłownie, że żył dziesięć lat, to zmarł dokładnie w dniu zapadalności lokaty po dziesiątym roku. W dzisiejszych realiach oznaczałoby to, że na koniec dnia (dziesiątej rocznicy lokaty) bank naliczyłby odsetki i dokonałby transferu, przy czym najprawdopodobniej służący już by z nich nie skorzystał…

Mi osobiście bardzo podobają się takie niejasności, bo pozwalają pokazać sposób rozumowania. A przecież właśnie to jest najważniejsze. Mając takie wątpliwości opisałbym je, jeszcze przed rozpoczęciem rozwiązywania zadania w sensie matematycznym. I jestem przekonany, że znalazłoby to uznanie wśród członków komisji egzaminacyjnej z roku 1924, a także tej z roku 1992 przed którą sam zdawałem maturę.

Jak by to było dzisiaj? Czy trzeba byłoby się odwoływać? Nie wiem…

Jeszcze raz Excel.

W zależności od przyjętego rozumowania to zadanie może doprowadzić do różnych rozwiązań liczbowych. Ot taka ciekawostka. Ogromną pomocą jest w takich przypadkach Excel. Budujemy arkusz i w zależności od tego, jaką kwotę bazową wpiszemy i kiedy przerwiemy naliczanie odsetek otrzymamy rozwiązania naszego zadania bez żmudnych kalkulacji.

Policzyć sobie można ze wzorów podanych powyżej, a poprawne rozwiązania (w sumie cztery warianty w zależności od interpretacji treści zadania) są zaprezentowane poniżej. Powodzenia!

czytaj dalej

087. Matura 1924 w Poznaniu. Zadanie z ekonomii dobroczynności. Rozwiążesz?

Dokładnie rok temu po raz pierwszy zająłem się „ekonomicznymi” zadaniami z przedwojennych matur. Jako ciekawostkę przedstawiłem ekonomiczne tematy maturalne z języka polskiego. Tak, tak były takowe. Zainteresowanych odsyłam do posta 033. Ale o wiele częściej ekonomia (czy też matematyka finansowa) gościła pośród tematów na maturze z matematyki.

W międzyczasie właśnie temat przedwojennych matur stał się najbardziej popularny na moim blogu. Mam więc nadzieję, że kolejne zadanie, które dziś przedstawiam, znajdzie liczną grupę czytelników.

No to rozwiązujemy…

Treść zadania.

Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek, by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.

Źródło: „Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24 (zadanie dla oddziału typu starego; pisownia oryginalna).

Komentarz do zadania.

Im dłużej zajmuję się przedwojennymi zadaniami maturalnymi, tym większe mam wrażenie, że ich autorzy wykorzystywali je jako okazję do kształtowania postaw życiowych maturzystów. Tak też jest w tym zadaniu, które nieco żartobliwie określam mianem ekonomii dobroczynności.

Mamy bowiem darczyńcę przekazującego na szpital znaczną (nawet w dzisiejszych czasach) kwotę 150.000 zł. Kwota ta nie jest jednak w pełnej dyspozycji szpitala, co jest dość zaskakujące dla współczesnego czytelnika. Darowizna spoczywa bowiem na rachunku bankowym, a szpital ma prawo jedynie korzystać z dochodów z tego kapitału i to po uwzględnieniu uprawnień służącego, o którym darczyńca nie zapomniał (1.200 zł rocznie dożywotnio, czyli kolejny element filantropijny w tym zadaniu).

Bez dyskusji należy przyjąć, że oprocentowanie od darowanej kwoty liczone jest w skali roku (świadczą o tym pozostałe parametry zadania – wypłaty roczne z dochodów i brak wzmianki o innym niż roczny sposobie naliczania odsetek). Dopóki będzie żył służący, z naliczonych odsetek bank będzie wypłacał corocznie 4.200 złotych (1.200 zł dla służącego i 3.000 zł dla szpitala), a resztę odsetek skumuluje na rachunku. Gdy służący umrze (a nastąpi to po dziesięciu latach) całość odsetek naliczanych rocznie będzie przysługiwać szpitalowi.

W zadaniu chodzi o określenie kwoty odsetek, którą docelowo będzie otrzymywał szpital. Oczywiście będzie ona zależna od salda rachunku, jakie wystąpi za dziesięć lat.

Tu w zasadzie pojawia się jedyna wątpliwość w treści zadania. Jak bowiem rozumieć określenie „z dochodów [..] wypłacić z góry”? Moim zdaniem warunkiem dokonania wypłaty jest osiągnięcie dochodu, czyli pierwsza płatność na rzecz uprawnionych nastąpi po upływie roku, gdy bank naliczy odsetki. W pierwszym roku będzie to kwota 5.250 zł, z której bank wypłaci 1.200 służącemu, 3.000 szpitalowi a 1.050 doda do salda rachunku darowizny.

Nieco mylące jest tu określenie „z góry”. Gdyby pierwsza wypłata nastąpiła na początku pierwszego roku istnienia rachunku, to rzeczywiście byłoby to „z góry”, ale nie byłoby mowy o wypłacie „z dochodów”. Dlatego będę się trzymał mojego rozumienia sytuacji w tym zadaniu: najpierw dochód, potem wypłata dla szpitala i służącego.

Słowo o zmiennej wartości pieniądza.

Zadanie może trochę zaskakiwać, jeśli będziemy na nie patrzeć przez pryzmat współczesnej wartości pieniądza. Otóż może wydawać się, że jakkolwiek sama darowizna jest znaczna – 150.000 złotych, to jednak przysługujący służącemu i szpitalowi dochód roczny (odpowiednio 1.200 zł i 3.00 zł, czyli miesięcznie 100 zł i 250 zł.) wydaje się śmiesznie mały.

Błędem jest jednak spoglądanie na ówczesny pieniądz dzisiejszymi oczyma.

Kwota 150.000 nawet dziś jest kwotą znaczną. W roku 1924 była jednak prawdziwą fortuną. Pamiętajmy, że gospodarka Polski była wówczas zrujnowana zaborami, pierwszą wojną światową, wojną polsko-bolszewicką i hiperinflacją, która w zasadzie zniszczyła polski pieniądz. Naprawdę niełatwo było znaleźć kogoś, kto wiosną roku 1924, trzy miesiące po reformie walutowej Grabskiego dysponowałby taką kwotą w gotówce.

Obowiązująca wówczas stopa procentowa rzędu 3,5% zapewniała od kwoty 150.000 zł odsetki roczne w wysokości 5.250 zł, co odpowiada miesięcznej wartości 437,50 zł. I dziś kwota ta budzi uśmiech na twarzy.

Uśmiech zniknie, jeśli odniesiemy tę kwotę do ówczesnych zarobków korzystając z danych Małego Rocznika Statystycznego wydanego przez Główny Urząd Statystyczny w roku 1935. Wyczytamy tam, że dniówka robotnika rolnego wynosiła wówczas od 3,90 zł wiosną i jesienią do 5,60 zł. latem. To stawki dla mężczyzn. Dla kobiet wynosiły one odpowiednio 2,60 i 3,50. Oznacza to, że mężczyzna pracujący jako robotnik rolny mógł zarobić latem do 168 zł miesięcznie, pod warunkiem, że znalazł pracodawcę na trzydzieści dni w miesiącu. Ta sama skuteczność na rynku pracy wiosną i jesienią dawała mu ledwie 117 złotych miesięcznie. A rozważania są skrajnie teoretyczne, zważywszy na wysokie bezrobocie, wydolność organizmu i zwyczaje w Polsce, które ograniczały pracę do maksymalnie sześciu dni w tygodniu.

W maju 1932 roku przeciętne tygodniowe zarobki robotnika „w wielkim i średnim przemyśle przetwórczym” wynosiło 28,90 zł, czyli dochodziło do 130 złotych miesięcznie. Taka posada była spełnieniem marzeń zwykłych ludzi: zarobki były wypłacane co miesiąc i nie były uzależnione od pory roku.

Nieco lepiej sytuowani byli mundurowi i pracownicy administracji. W roku 1935 kapral Wojska Polskiego zarabiał miesięcznie 137 złotych (167 złotych, jeśli posiadał rodzinę), najliczniejsza dziesiąta grupa uposażenia w administracji państwowej (należało do niej wówczas 41.949 osób) miała wynagrodzenie miesięczne wynoszące 160 zł, a pensja na najniższym stanowisku w policji (posterunkowy w służbie zwykłej) to 190 złotych (150 zł pensji podstawowej i 40 złotych dodatku).

To dane za lata 1928 i 1935. Nasze zadanie osadzone jest w realiach roku 1924. Na stronie 179 Małego rocznika statystycznego 1935 możemy zobaczyć wykres przedstawiający zmianę siły nabywczej płac robotniczych względem poziomu z roku 1928. Okresem o najniższej realnej wartości płac były właśnie lata 1921-1923, gdy stanowiły one ledwie połowę wartości nabywczej z roku 1928.

Wracając do zadania: służący, któremu zapisano dożywotnio 1.200 rocznej pensji (100 złotych miesięcznie), miał zapewnione dochody zbliżone do pensji posterunkowego policji państwowej z roku 1935. A przecież mógł jeszcze podjąć jakąkolwiek dodatkową pracę, choć powiadano wówczas, że da się przeżyć za 60 zł. miesięcznie (źródło: „Jak się żyło przed wojną Wymarzone 200 zł” Tygodnik Zamojski 52 z 2012).

Z kolei kwoty zapisane szpitalowi pozwalały mu sfinansować pensję dwóch szeregowych pracowników w okresie życia służącego i czterech po jego śmierci. Przeliczając to na dzisiejsze warunki mielibyśmy płatności rzędu 6 tys. i 12 tys. Co miesiąc i bez ograniczenia czasowego. Naprawdę godna darowizna.

Rozwiązanie w Excelu.

Tego typu zadania są wręcz idealne do przeprowadzenia symulacji excelowej.

W kolejnych kolumnach mamy: saldo otwarcia, naliczone odsetki, wypłatę na rzecz szpitala i służącego (łącznie 4,2 tys. zł.) i część odsetek, która zostanie dodana do salda rachunku darowizny. Ostatnia wypłata dla służącego następuje na koniec dziesiątego roku. Więc całość odsetek naliczona w roku jedenastym przysługuje już szpitalowi.

Odpowiedzią jest więc kwota 5.681,13 zł.

Ale jak to obliczyć bez Excela?

Z tym zadaniem zostawiam PT Czytelników do końca miesiąca. Wśród osób, które nadeślą poprawne odpowiedzi (proszę korzystać z formularza kontaktowego) rozlosuję nagrodę książkową. 

Rozwiązanie zadania przedstawię 1 sierpnia.

Powodzenia.

czytaj dalej

076. Ekonomia na Maturze 1929 w Państwowym Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu.

Dziś prezentuję rozwiązanie najmniej oczywistego pod względem ekonomicznym przedwojennego zadania maturalnego spośród umieszczonych w poście 063. Przypomnę, że na przedwojennych maturach z matematyki pojawiały się zadania o treściach zdecydowanie ekonomicznych. Zbiorek pięciu takich zadań opublikowałem w styczniu, ogłaszając przy tym konkurs z nagrodami za współudział w rozwiązaniu. Konkurs trwa. Nagrody czekają. Do rozwiązania pozostają zadania 2 i 4. Zapraszam.

Zastrzegam przy okazji, że tytuł dzisiejszego posta nie zawiera błędu. Taka była pisownia nazwy tej szkoły w 1929 roku. Kto nie wierzy, niech zajrzy do „Sprawozdania dyrekcji […] za rok szkolny 1928/29”.

Zadanie 5, którego treść przytaczam poniżej, wywołało ciekawą dyskusję mailową. Szczególnie istotną rolę w tej dyskusji odegrał Romek z Rybnika, który otrzymuje ode mnie książkę Jacka Walkiewicza „Pełna moc możliwości” oraz kilka gadżetów dodatkowych. Nagrodę wysłałem już pocztą.

No to rozwiązujemy!

Zadanie 5. (Matura 1929)

Gmina A ma obowiązek utrzymywania mostu na rzece w gminie B. Koszta utrzymania mostu wynoszą przeciętnie 1.000 zł co 5 lat. Gmina B okazuje chęć przejęcia tego ciężaru na siebie za jednorazowem wynagrodzeniem. Jaką kwotę ma złożyć gmina A, jeżeli liczy się procent składany 4 ½ a najbliższa naprawa mostu (a więc i przewidziany, połączony z tem wydatek 1.000 zł) ma nastąpić za 3 lata ?
Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu za rok szkolny 1928/29".

Komentarz do zadania.

Punktem wyjścia jest, że Gmina A jest zobowiązana do utrzymywania (naprawiania) mostu znajdującego się na terenie Gminy B. Remonty te odbywają się co pięć lat i ich koszty wynoszą przeciętnie 1.000 zł. Uważam, że nieco mylące jest słowo „przeciętnie”. Ekonomista poradzi sobie z nim bez trudu. Dla matematycznego purysty użycie tego słowa jest bliskie bluźnierstwu. Jestem jednak przekonany, że autorom zadania chodziło o to, że za każdym razem koszty remontu wynoszą dokładnie 1.000 zł, choć nie wyrazili tego jednoznacznie.

Gminy postanawiają się dogadać w ten sposób, że Gmina A zapłaci jeden raz za to, że już na zawsze uwolni się od obowiązku remontowania mostu. Ile powinna zapłacić zakładając, że najbliższy remont ma się odbyć za trzy lata.

Współczesny ekonomista powiedziałby, że w zadaniu chodzi o wycenę kosztów przyszłych remontów w cenach bieżących. Pytanie tylko których kosztów. Tzn. koszty z jakiego przedziału czasowego winny wejść do wyceny. Na tym współcześnie polegają negocjacje w sprawie wycen np. przedsiębiorstw. Wiadomo, jakie zyski przynosiło przedsiębiorstwo w przeszłości. Strony transakcji ustalają jaki będzie poziom zysków tego przedsiębiorstwa w przyszłości. I część tych zysków (np. z okresu dziesięciu lat) dyskontują do wartości bieżącej, ustalając, że to jest wartość przedsiębiorstwa. W takich przypadkach negocjacjom podlega ustalenie poziomu przyszłych zysków, wysokości stopy procentowej i okresu czasu, z których zyski będą brane pod uwagę. I z doświadczenia wiem, że niełatwo się dogadać…

W naszym znamy kwotę (1.000) i stopę procentową (4,5% - bez dyskusji należy przyjąć, że chodzi o stopę roczną). Pozostaje kwestia okresu. Ponieważ to jednak zadanie maturalne z matematyki, jestem skłonny uznać, że autorom chodziło o nieograniczony zakres czasu, czyli o zdyskontowanie kosztów wszystkich przyszłych remontów mostu począwszy od najbliższego, który się odbędzie za trzy lata, aż do plus nieskończoności. Bo matematyka nie znajdzie powodów, aby szereg przyszłych kosztów przerwać w którymś momencie.

Oczywiście dla ekonomisty to absurd. Ekonomista będzie chciał ograniczyć szereg analizowanych kosztów, bo nie przekonasz go, że nawet najlepiej remontowany most przetrwa milion lat. Jeśli myślisz podobnie, to znaczy, że bliżej Ci do ekonomii niż do matematyki. A nawet milion lat to jeszcze nie nieskończoność…

Słowo o dyskontowaniu.

W sensie obliczeniowym ustalenie bieżącej wartości w sytuacji kapitalizacji rocznej (tak jest w naszym zadaniu) odbywa się na podstawie wzoru:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:

PV – wartość bieżąca
FV – wartość przyszła
i – stopa procentowa
n – liczba lat

Używając tego wzoru dyskontujemy koszty każdego przyszłego remontu (wynoszącego zawsze 1.000 zł.) do wartości bieżącej. Dużym ułatwieniem jest excel, który w ułamku sekund prezentuje nam takie oto wyniki:

Pozostaje kwestia, o której pisałem wcześniej: które koszty wziąć pod uwagę.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk weźmie pod uwagę koszty z wszystkich przyszłych okresów aż do plus nieskończoności. Zdyskontuje je do wartości bieżącej i dopatrzy się, że ma do czynienia z szeregiem geometrycznym, którego pierwsze wyrazy to:

czyli mówiąc inaczej z szeregiem, którego pierwszym wyrazem jest

a ilorazem:

Matematyka ucieszy to, że wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza niż 1, bo to pozwoli mu zastosować wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

i jest już w domu, bo ma wszelkie dane, aby zadanie rozwiązać.

Jeśli odważymy się podstawić liczby to wyjdzie nam 4.435,85 zł. (skorzystałem z excela i oczywiście jest to wartość zaokrąglona do drugiego miejsca po przecinku, czyli do grosza, czyli nie jest idealnie matematyczna).

A jak ekonomista?

Ekonomista odrzuci dyskontowanie nieskończonego szeregu kosztów. A jego dylemat będzie polegał na tym, w którym momencie go przeciąć. To byłby główny punkt negocjacji pomiędzy gminami, gdyby sytuacja z zadania wydarzyła się naprawdę.

Jak by się skończyły te negocjacje? Nie wiemy, póki nie ponegocjujemy 😊.

Jakąś podpowiedzią współczesnej ekonomii może być obowiązująca stawka amortyzacyjna dla obiektów mostowych. W Polsce wynosi ona 4,5%, co oznacza, że według zasad księgowości mosty zmniejszają swoją wartość bilansową do zera w okresie 22,2 lat. Gdyby to uznać za wskazówkę należałoby zdyskontować jedynie koszty pierwszych czterech remontów. Dało by to wartość 2.596,55 zł.

Myślę jednak, że byłoby to nie do przyjęcia dla negocjatorów Gminy B. Po pierwsze oczekiwali by oni co najmniej uwzględnienia kosztów remontu przypadającego za 23 lata (a więc tuż po zakończeniu okresu amortyzacji mostu). To zwiększa wartość zdyskontowaną do poziomu 2.959,90. Po drugie zapewne zwracaliby uwagę na fakt, że w pełni zamortyzowany most (czyli most o zerowej wartości bilansowej) wciąż może służyć ludziom i tym samym wciąż trzeba go naprawiać.

Zresztą, zgodnie z zasadami księgowości, nakłady na remonty podnoszą wartość bilansową środka trwałego. A zatem moment całkowitego zamortyzowania mostu nastąpiłby później. Kiedy? To zależy od jego dzisiejszej wartości bilansowej, której w zadaniu nie podano.

Bo to jednak zadanie z matematyki.

Matematyka a ekonomia.

Przy okazji jak na dłoni widać różnice między ekonomią a matematyką. Matematyk zadanie rozwiąże, ale w tym przypadku z rozwiązaniem można będzie polemizować. Ekonomista namnoży założeń, a zadanie i tak pozostanie nierozwiązane... 😊😊😊

Zostało jeszcze dwa zadania do rozwiązania. Zachęcam.

A na zdjęciach przedstawiam most Ponte della Maddalena, łączący brzegi rzeki Serchio, znajdujący się w miejscowości Borgo a Mozzano w prowincji Lucca, w północnozachodniej części Toskanii, określanej lokalnie jako Garfagnana. Kamienny most oddany do użytku w 1115 roku, wciąż działa, choć jest zamknięty dla ruchu kołowego…
Nie mam pojęcia, jaka jest jego wartość bilansowa, jakie są koszty jego remontów i jak często są przeprowadzona.
Z pewnością jest bezcennym zabytkiem sztuki inżynierskiej.
Warto go ujrzeć na własne oczy!

czytaj dalej

072. Matura 1924 w Państwowym Gimnazjum im. Św. Marji Magdaleny w Poznaniu. Rozwiązanie zadania „ekonomicznego”.

Tytuł nie zawiera błędu. Zachowałem oryginalną pisownię nazwy szkoły, zgodną z dokumentami, a w szczególności „Sprawozdaniem dyrekcji […] za rok szkolny 1923/24”.

Przypomnę, że w poście 063 umieściłem pięć przedwojennych zadań maturalnych z matematyki, których treść - jako żywo – odnosi się do problemów ekonomicznych. Ogłosiłem też konkurs – Z NAGRODAMI – na rozwiązanie tych zadań. Rozwiązanie zadania 1 umieściłem w poście 069. Dziś rozwiązujemy zadanie 3. Zadania 2, 4 i 5 wciąż czekają na rozwiązania. Nagrody też.

Zadanie 3. (Matura 1924).

Ojciec zostawia dla dwojga dzieci kapitał K=20.000 zł, który opiekun umieszcza w banku na p=8%. Na wychowanie dzieci pobiera się z końcem każdego roku po a=1.800 zł., pozostałym zaś majątkiem dzielą się dzieci po n=10 latach. Ile otrzyma każde z nich?

Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24". (zadanie dla oddziału zreformowanego).

Komentarz do zadania.

Mamy 20.000 złotych w banku, ulokowane na 8%. Autor zadania nie pisze tego wprost, ale należy założyć, że jest to oprocentowanie w skali roku. Na koniec każdego roku będziemy mieć naliczenie odsetek i wypłatę stałej kwoty 1.800 „na wychowanie dzieci”. To będzie trwało dziesięć lat, a więc po dziesiątym roku zostaną jakieś pieniądze (zostałyby nawet, gdyby konto było nieoprocentowane), które zostaną wówczas podzielone między dwoje dzieci. Po ile dostaną?

Sytuacja w sumie życiowa, choć będąca prawdopodobnie następstwem jakiegoś nieszczęścia. W stosunku do dzisiejszych realiów mamy bardzo niską kwotę wypłat rocznych „na wychowanie dzieci”. Raptem 1,8 tys. zł. Szokuje za to stopa procentowa. Można by to zadanie uwspółcześnić w ten sposób, że wypłata następuje co miesiąc (to bardziej odpowiadałoby współczesnym kosztom życia), ale wówczas kapitał złożony w banku musiałby być o wiele większy, żeby zadanie miało sens.

Pierwszy laureat konkursu.

Rozwiązanie nadesłał Paweł, któremu zaproponowałem wybór jednej z trzech książek jako nagrody za trud maturalny: Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze"; Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking"; Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy". To tak, żebyście wiedzieli, że nagrody są na poważnie. Krótki opis tych książek na końcu posta.

Rozwiązanie Excelowe.

Paweł nadesłał rozwiązanie z wykorzystaniem Excela, które w całości zamieszczam poniżej. Nic dodać, nic ująć.

A jak to zadanie rozwiązałby matematyk?

Przedwojenny maturzysta z Excela skorzystać nie mógł. Musiał więc trudzić się korzystając z dorobku klasycznej (i w tym przypadku nieszczególnie trudnej) matematyki. Rozumowanie towarzyszące rozwiązaniu jest identyczne z rozwiązaniem innego zadania przedstawionego w poście 069. Dowodzi to, że autorzy przedwojennych zadań maturalnych kroczyli po tych samych ścieżkach myślowych.

Rozwiązujemy. Po pierwsze wyobrażamy sobie, że nie dokonujemy żądnych wypłat. Na rachunku do roku kumulowane są odsetki. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany
wzór

I wychodzi nam, że po dziesięciu latach nasz kapitał urósłby do poziomu 43.178,50 zł.

Na marginesie: popatrzcie, jak działa oprocentowanie, jeśli wynosi 8% a nie jak dziś 2% lub mniej….

W realiach zadania wypłacamy jednak co roku po 1,8 tys. Te wypłaty pomniejszają nasz kapitał zarówno o swoją wartość nominalną, jak i o odsetki, które bank by naliczył, gdyby wypłata nie nastąpiła. Pierwsza wypłata kwoty 1,8 tys. ma dla naszych oszczędności także ten skutek, że nie otrzymamy odsetek od tej kwoty po drugim, trzecim i każdym kolejnym roku.

Na łączny ujemny efekt corocznych wypłat po 1,8 tys. złożą się więc:

·       Dla wypłaty po pierwszym roku: wartość nominalna 1,8 tys. i dziewięciokrotne naliczenie odsetek

·       Dla wypłaty po drugim roku: wartość nominalna 1,8 tys. i ośmiokrotne naliczenie odsetek

·       …

·       Dla wypłaty po dziesiątym roku: tylko wartość nominalna 1,8 tys., bo naliczania odsetek już nie będzie.

A to nic innego jak ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 1.800 i ilorazie 1,08. Łączny negatywny skutek wypłat to z matematycznego punktu widzenia suma pierwszych dziesięciu elementów tego ciągu:

co dla matematyka jest pestką, gdyż skorzysta ze wzoru:

I wyjdzie mu 26.075,81.

Podsumowując: gdyby trzymać kapitał w banku bez wypłat uzyskano by po dziesięciu latach kwotę 43.178,50 zł. Coroczne wypłaty po 1,8 tys. w sumie pomniejszą nasze oszczędności o 26.075,81 zł. (wliczony skutek odsetkowy). Czyli do podziału pomiędzy dzieci pozostanie 17.102,69, czyli po 8.551,335 na dziecko.

Trudno oprzeć się wrażeniu, że rozwiązanie takich problemów przy pomocy Excela jest dużo prostsze.

Konkurs trwa.

Zostało jeszcze trzy zadania. Zapraszam. Paweł wybierze jedną z trzech książek, ale inne czekają na kolejnych śmiałków.

1. Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze" - spojrzenie na biznes z buddyjskiego punktu widzenia. Autor jest buddyjskim mnichem, który zaczął pracować w hurtowni diamentów i opisuje ten biznes z punktu widzenia tej religii. Buddystą nie jestem, ale książka jest OK.
2. Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking" - książka o tym, jak budować i pielęgnować kontakty biznesowe. Turniak jest takim polskim guru networkingu, zarabia w ten sposób, że jest jakby wodzirejem na dużych spotkaniach biznesowych, więc wie o czym pisze. Poznałem go osobiście - ciekawy gość.
3. Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy" - to taka kompleksowa książka o faktoringu (jednym z rodzajów finansowania przedsiębiorstw oferowanych przez banki). Na tle pierwszych dwóch propozycji ta książka zawiera najwięcej twardej wiedzy. Ale w dzisiejszych czasach naprawdę równie ważne co twarda wiedza są komunikacja (pozycja 2) i alternatywne spojrzenie na świat (pozycja 1).

czytaj dalej

069. Ekonomia na przedwojennej maturze: Rozwiązanie zadania z roku 1924.

Ogłoszony przeze mnie konkurs zakończył się klapą. Nie wpłynęło ani jedno rozwiązanie. Może zadania były za trudne. Może konkurs był słabo promowany. Albo nagrody za słabe. A może zwyciężyła obawa, że moim celem było wyciągnięcie danych osobowych. Nie wiem. Trudno. Czas pokazać rozwiązania. Dziś zadanie pierwsze.

Przy okazji: wydłużam termin konkursu. Jeśli ktoś przyśle mi rozwiązanie któregokolwiek z kolejnych zadań z przedwojennych matur (zadania 2-5; ich treść znajduje się w poście 063), to weźmie udział w losowaniu nagrody, czyli książki o tematyce ekonomicznej, znajdującej się w mojej bibliotece. Mam ich wiele. Nawet wspólnie z laureatem ustalimy, co go najbardziej interesuje.

Zadanie 1. (Matura 1924)

Złożono do banku 45000 zł na 4 ½ %. Jaką sumę można podnosić z banku corocznie w ciągu 12 lat zanim kapitał nie wyczerpie się ?

Źródło: „Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu za 1-sze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie (1919-1929)".

Komentarz do zadania.

Sytuacja przedstawiona w zadaniu jest dość przyjemna. Mamy w banku 45 tys. złotych ulokowane na 4,5%. Należy rozumieć, że w skali roku. Na koniec każdego roku naliczą się nam zatem odsetki i w tym samym momencie będziemy wypłacać pewną kwotę. Co roku tę samą w takiej wysokości, aby pieniędzy nam starczyło na dwanaście lat. Czyli innymi słowy: po dokonaniu dwunastej wypłaty mamy osiągnąć saldo zerowe. Pytanie brzmi: ile można wypłacać, aby pieniędzy starczyło na dwanaście lat.

Czy to sytuacja abstrakcyjna? Nie sądzę. Można to zadanie uwspółcześnić na przykład tak: rozpoczynając pięcioletnie studia otrzymujesz 45 tys. złotych, które wpłacasz do banku na 4,5% w skali roku. Ile możesz co roku wypłacać, żeby pieniędzy starczyło na cały okres studiów? Można je nawet jeszcze bardziej urealnić (tym samym skomplikować) pytając o wypłaty miesięczne. Zadanie jest prawie bliźniacze, a sytuacja jak najbardziej życiowa. No może za wyjątkiem stopy procentowej.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk zauważy przede wszystkim, że w tym zadaniu można dopatrzeć się dwóch ciągów geometrycznych. To chyba największa trudność rozwiązania, bo to nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, za to radykalnie ułatwia rozwiązanie zadania.

Po pierwsze wyobraźmy sobie, że z rachunku nie wypłacamy ani grosza. W ten sposób nasz kapitał będzie powiększany o odsetki naliczane raz w roku. Policzenie, ile zgromadzimy na koniec dwunastego roku jest bajecznie proste. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany, o którym zresztą pisałem w poście 049:

i wychodzi nam, że uzbieramy 76.314,66 zł.

Oczywiście w warunkach naszego zadania takiej kwoty nie uzbieramy nigdy, bo co roku będziemy dokonywać wypłaty tej samej kwoty K. Każda z wypłat pomniejszy zgromadzony kapitał a także odsetki od niego naliczane w następnych okresach. Ile w sumie będzie tych pomniejszeń?

Na koniec pierwszego roku wypłacimy kwotę K, od której - gdyby została w banku - bank naliczyłby nam odsetki jeszcze jedenaście razy. Rok później wypłacimy tę samą kwotę, którą - gdyby ją zostawić - podlegałaby oprocentowaniu jeszcze dziesięć razy. I tak dalej. Aż do ostatniej wypłaty, dokonanej na koniec dwunastego roku, po której saldo rachunku w banku osiągnie poziom zera. Z tym, że ta ostatnia wypłata pomniejszy nasze potencjalne korzyści jedynie o swoją wartość nominalną, gdyż to już koniec naszego okresu inwestowania i kolejnych odsetek już nie będzie.

Jeżeli na wpłaty spojrzymy od końca to z punktu widzenia matematyki mamy do czynienia z sumą dwunastu elementów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym K i ilorazie 1,045 (wynikającym z naliczenia oprocentowania 4,5%). Matematyk widzi tę sumę następująco:

I potrafi ją szybko obliczyć, bo na to matematyka podstawia gotowy wzór (na sumę n=12 pierwszych elementów ciągu geometrycznego), który w tym przypadku wygląda tak:

Teraz należy jedynie zauważyć, że te pomniejszenia naszej inwestycji (to, czego nie zarobimy, jeśli będziemy co roku wypłacać kwotę K) sumują się do wartości, którą byśmy zebrali, gdybyśmy wypłat nie dokonywali. To może być niełatwy moment dla niektórych rozwiązujących zadanie. Pomocą w zrozumieniu niech będzie pomysł, że to, co wypłacimy z rachunku bankowego wpłacimy na inny rachunek oprocentowany tak samo. Wówczas na pierwszym rachunku środków będzie coraz mniej, a na drugim coraz więcej. Mamy więc do czynienia niejako z dwiema inwestycjami o odwróconej kolejności sald ale tym samym wyniku odsetkowym.

Mamy więc do rozwiązania równanie: 

które żadnemu maturzyście kłopotów nie powinno sprawić, bo ma tylko jedną niewiadomą, a jego rozwiązaniem jest: K=4.934,98. Uwaga: zaokrąglenie; niewykluczone, że przedwojenne komisje egzaminacyjne uznawały wynik podany w formie ułamkowej.

A jak miłośnik Excela?

Dziewięćdziesiąt trzy lata jakie upłynęły od matury z analizowanym zadaniem przyniosły nam szereg nowoczesnych narzędzi obliczeniowych, w tym Excela dla którego to zadanie jest wręcz idealne. Historię zawartą w treści zadania możemy bowiem z łatwością zapisać w jego komórkach w następujący sposób:

Saldo na początku pierwszego roku to 45 tys. (komórka B4). Na koniec roku naliczamy odsetki (w kolumnie C: 4,5% od wartości z kolumny B) oraz dokonujemy wypłaty o stałej wartości, póki co nieznanej, wskazanej w komórce C1. Saldo końca roku (kolumna E) uwzględnia obie te operacje i jest przenoszone do następnego wiersza do kolumny B.

Rozumowanie to jest następnie powtarzane w kolejnych latach, aż do roku 12 (UWAGA: ukryłem wiersze z latami 3-11).

Taka struktura arkusza umożliwia nam skorzystanie z narzędzia "szukaj wyniku", które w Excelu z roku 2016 znajduje się w menu górnym Dane \ Analiza warunkowa \ Szukaj wyniku. Po wybraniu tej ścieżki otrzymujemy następujący formularz:

Zadanie, które w tym momencie zlecimy Excelowi, polega na znalezieniu takiej wartości komórki C1 (corocznej wypłaty z rachunku), aby wartość komórki E15 (saldo rachunku na koniec dwunastego roku) osiągnęło wartość 0. Czyli dokładnie to, o co chodzi w rozwiązywanym zadaniu maturalnym. Wciskamy [OK], Excel zaczyna działać i po chwili naszym oczom ukazuje się rozwiązanie:

Jak widać wynik wyszedł ten sam, co w metodzie matematycznej.

Która metoda jest lepsza? Maturzysta z roku 1924 nie miał wyjścia. Musiał rozwiązywać jak matematyk. Możliwe, że korzystał z tablic matematycznych, ale musiał pogłówkować a potem trochę się naobliczać. A kalkulatorów nie było...

Nie będę ukrywał, że zadanie to rozwiązałem najpierw korzystając z Excela. Wybaczcie moi profesorowie matematyki! Nie dawało mi jednak spokoju, że dwa pokolenia temu do rozwiązania tego zadania wystarczyło pióro i kartka papieru. I oto efekt. 

Myślę, że każdy, kto przeszedł taką drogę zasłużył na znaczek:

Zostało jeszcze kilka zadań do rozwiązania!

czytaj dalej

049. Oszczędzanie. Jak policzyć, ile zaoszczędzę? Czy można zyć z odsetek?

Kto z nas nie miał świnki-skarbonki?  Kto nie sprawdzał od czasu do czasu, ile jest w niej pieniędzy? Kto choć raz nie zastanawiał się, ile można by zebrać, gdyby przez pewien czas – najlepiej wiele lat – systematycznie wrzucać do niej monety i banknoty? 

Kto ma takie wspomnienia, ten zajmował się matematyką finansową. W pełni spontanicznie i całkiem możliwe, że nie zdając sobie sprawy z tego, że coś takiego w ogóle istnieje. A jednak! Bo w oszczędzaniu, które jest bardzo intuicyjne, chodzi przecież o pieniądz i czas, a tym właśnie zajmuje się matematyka finansowa, której tak wielu z nas się boi.

Znowu będę więc te obawy rozwiewał. Tym chętniej, że o oszczędzaniu można mówić na różnych poziomach zaawansowania, więc te obawy pojawiają się stopniowo.

Poziom pierwszy: prosta suma.

Czyli wersja dla początkujących i prawdopodobnie nasze pierwsze finansowe odkrycie, jeszcze z czasów przedszkolnych. Jeśli do skarbonki będę wrzucał pieniądze, to będzie ich coraz więcej. Jeśli raz w miesiącu wrzucę 10 złotych to po roku będę miał 120 złotych, po dziesięciu latach 1.200 złotych itd. Można mnożyć kwotę, zwiększać częstotliwość wrzutek i wydłużać okres gromadzenia oszczędności. Wystarczy zwykły kalkulator, albo pomoc kogoś ze starszych i już można poczuć majątek, który zgromadzimy za kilkadziesiąt lat.

To matematyka, ale jeszcze nie finansowa. Matematyka finansowa zaczyna się wówczas, gdy zaczniemy uwzględniać możliwość oprocentowania naszych oszczędności.

Poziom drugi: oprocentowanie.

Odkrycie, że oszczędności mogą być oprocentowane, jest pierwszym ważnym przełomem w myśleniu o własnych finansach. Okazuje się bowiem, że nasze pieniądze będą też powiększane przez wpłaty dokonywane przez kogoś innego. „Ale fajnie!” powiedziała moja córka, gdy na wyciągu z konta zobaczyła odsetki naliczane co tydzień przez bank. Zmartwił ją tylko podatek, który następnie bank zabierał z jej konta. Ale to inna sprawa…

W sytuacji, gdy mamy do czynienia z oprocentowaniem w skali roku i gdy naliczanie odsetek następuje na koniec okresu lokaty (a tak jest w zdecydowanej większości przypadków), wartość naszych pieniędzy po naliczeniu odsetek możemy policzyć według wzoru:

FV          - wartość przyszła, po naliczeniu odsetek

PV         - wartość początkowa

i             - stopa procentowa

d            - liczba dni, za które naliczono odsetki.

Poziom trzeci: życie z odsetek.

Skoro już wiemy, że bank nalicza odsetki, to może nam przyjść do głowy, że przy odpowiednio dużej kwocie pieniędzy powierzonej bankowi, nie trzeba już będzie chodzić do pracy – można będzie po prostu żyć z odsetek. Jeżeli nasze wydatki będą mniejsze niż naliczane nam odsetki, to nasz kapitał nie będzie się pomniejszał, a więc osiągniemy finansowe perpetum mobile.

Myśl jest kusząca. Pozostaje tylko kwestia oczekiwań co do przychodów z naszego kapitału, która zależy od jego wysokości i obowiązujących stóp procentowych. Jeżeli oprocentowanie wynosi akurat 2% w skali roku, to, aby otrzymywać miesięcznie 5.000 zł, musielibyśmy mieć kapitał w wysokości 3 milionów. Odsetki liczymy bowiem ze wzoru

Chociaż z drugiej strony to musi być trudne: mieć 3 miliony na koncie a wydawać tylko 5 tysięcy miesięcznie...Widać taki sposób życia nie jest dla każdego :)

Poziom czwarty: procent składany.

Naliczone odsetki można wydać, ale można też dodać do oszczędności i ulokować je na następny okres. W ten sposób w kolejnych okresach oprocentowane będą także odsetki, które wcześniej otrzymaliśmy. Pozornie wydaje się, że to bez znaczenia, ale tu zaczyna się prawdziwa magia matematyki finansowej. Liczne kapitalizacje działają jak finansowe koło zamachowe i wartość zgromadzonych oszczędności zaczyna rosnąć w coraz większym tempie.

Jeżeli kapitalizacja następuje raz w roku, to po n latach zgromadzimy:

Dlaczego „do potęgi n”? W sensie matematycznym naliczenie odsetek to przemnożenie kwoty bazowej przez (1+i). Po pierwszym roku będziemy mieć na koncie PV*(1+i) i cała ta kwota zostanie oprocentowana w kolejnym okresie, po którym będziemy mieć PV*(1+i)*(1+i) , czyli PV*(1+i) do potęgi drugiej. W trzecim roku ponownie mnożymy przez (1+i) i otrzymujemy PV*(1+i) do potęgi trzeciej itd.

Gdybyśmy jednak chcieli lokować nasze pieniądze na okresy inne niż rok to wysokość naszego kapitału po n kapitalizacjach osiągnie poziom:

Wzór zadziała pod warunkiem, że każda lokata w okresie oszczędzania będzie miała to samo oprocentowanie i oraz będzie założona na ten sam okres d dni.

Gdyby więc ulokować 10.000 złotych na 2% w skali roku, to po 20 latach zgromadzimy 14.913,28 (jeśli kapitalizacja będzie następować co miesiąc) albo 14.859,47 (w przypadku kapitalizacji rocznej). Mamy niskie stopy procentowe, więc kwota wrażenia nie robi (zarobimy niecałe 5.000 w ciągu 20 lat), ale z drugiej strony nic nie robiąc powiększymy kapitał prawie o 50%.

Poziom piąty: systematyczne oszczędzanie.

Czyli połączenie systematycznego wpłacania i lokowania zgromadzonych środków na określony procent. To najbardziej zaawansowana forma oszczędzania, więc wymaga odrębnego potraktowania. Zapraszam za tydzień…

czytaj dalej

048. Pieniądz i czas, czyli matematyka finansowa.

Sto złotych dostępne dzisiaj i sto złotych dostępne dopiero za miesiąc to nie to samo. Możliwe, że się nad tym nie zastanawiałeś, ale jeśli za wykonaną pracę masz otrzymać stówę to, gdy zapytają Cię, czy wypłacić ją od razu, czy za miesiąc, to z pewnością wybierzesz opcję pierwszą. Intuicyjnie postąpisz zgodnie z prawidłami ekonomii, a dokładnie matematyki finansowej, wedle której ta sama kwota dziś jest więcej warta niż w przyszłości.

Dlaczego wolimy pieniądze od razu?

Nawet ekonomiczny laik odpowie mniej więcej tak: „bo będę mógł od razu z nich korzystać, bo nie mam pewności czy na pewno je dostanę za miesiąc i wreszcie co ja z tego będę miał, że poczekam?”. I to jest kwintesencja ekonomii, choć wyrażona językiem potocznym.

„Będę mógł korzystać od razu” – otrzymując pieniądze dziś zyskujesz prawo do posługiwania się nimi wedle Twojego życzenia. Nieważne, czy są Ci one dziś niezwykle potrzebne, czy nie. Mając je, masz prawo wybrać sposób ich zagospodarowania. W szczególności masz prawo powstrzymać się od korzystania z nich, ale to Twoja sprawa. Odroczenie zapłaty oznacza rezygnację z tego prawa. A za to należy Ci się wynagrodzenie…

„Nie mam pewności, czy je dostanę” – zgadzając się na odroczenie zapłaty przyjmujesz na siebie ryzyko, że wydarzy się coś, co sprawi, że pieniędzy jednak nie dostaniesz. Dokładnie tak rozumują banki udzielając kredytu i … biorą za to wynagrodzenie, więc i Tobie się ono należy…

„Co ja z tego będę miał, że poczekam?” – oznacza intuicyjną gotowość na odroczenie zapłaty, ale w zamian za coś. Czyli w zamian za dodatkowe wynagrodzenie, o którym podświadomie wiesz, że Ci się będzie należeć, jeśli zgodzisz się na czekanie. A z czego ono wynika z punktu widzenia ekonomii napisałem wyżej.

Do tego dochodzi inflacja. Możliwe, że jej nie odczuwamy, ale ona przecież jest i sprawia, że ta sama kwota wraz z upływem czasu ma coraz mniejszą wartość nabywczą (coraz mniej można za nią kupić). Zatem późniejsze otrzymanie tej samej kwoty jest dla nas czystą stratą z praktycznego punktu widzenia.

Podsumowując: mogę poczekać na pieniądze, ale musiałbym dostać więcej niż przysługuje mi dziś. Ale jak wyliczyć owe „więcej”?

Wartość pieniądza w czasie.

Zmiana wartości pieniądza w czasie wynika z obowiązujących stóp procentowych i tego, że pieniądze zawsze można wpłacić do banku i uzyskać za to oprocentowanie. Logika jest taka: nawet, jeśli nie mam pomysłu na wykorzystanie moich pieniędzy to mogę zrobić z nich lokatę i uzyskać więcej niż mam teraz. Więc co najmniej tyle samo powinienem otrzymać za opóźnioną wypłatę moich pieniędzy.

Wartość przyszła.

Jeśli moje 100 złotych wpłacę na lokatę roczną oprocentowaną 2% w skali roku to otrzymam 102 złote. Takie mamy teraz stopy procentowe, niestety. Oznacza to, że 100 złotych dzisiaj jest równe tyle, co 102 złotych za rok.

„Profesjonalny” wzór na powyższe obliczenia wygląda tak:

Rozszyfrujmy symbole:

FV          - przyszła wartość (skrót od angielskiego future value)
PV         - bieżąca wartość (skrót od angielskiego present value)
i             - stopa procentowa

No, ale okres, w którym obliczamy zmianę wartości pieniądza, może być przecież inny niż rok. Wówczas odsetki, jakie bank nam naliczy, dotyczą wyłącznie tej części roku, w której trwała nasza lokata. Matematycznie część roku to d/360 , gdzie d to liczba dni w naszej „części roku”.

Jeśli to uwzględnimy to nasz wzór na wartość przyszłą dla okresów innych niż rok będzie wyglądał następująco:

Teraz możemy sobie wyliczyć, że nasze dzisiejsze sto złotych za miesiąc będzie warte o 17 groszy więcej (założyłem oprocentowanie równe 2%).

Ten wzór działa prawidłowo, jeśli oprocentowanie jest liczone w skali roku i naliczenie odsetek (kapitalizacja) następuje w ostatnim dniu lokaty. A to występuje w zdecydowanej większości wypadków lokat do jednego roku. O dłuższych terminach i procencie składanym napiszę za tydzień.

Wartość bieżąca.

Problem wartości pieniądza można tez sformułować odwrotnie. Ile warta jest dziś kwota normalnie dostępna za jakiś czas? Z matematycznego punktu widzenia trzeba przekształcić powyższy wzór tak, aby zobaczyć „PV =”. Otrzymujemy:

I można z niego obliczyć na przykład ile muszę wpłacić na lokatę 2%, aby za pół roku (180 dni) mieć 5.000 złotych (powinno wyjść 4.950,50), albo ile jest warte dziś moje wynagrodzenie 2.000 złotych, które mam otrzymać za miesiąc (odpowiedź to 1.996,67).

Czy to ma zastosowanie?

Obliczenia nie robią żadnego wrażenia, jeśli mowa o małych kwotach, niskich poziomach stóp procentowych i krótkich okresach. Dlatego w życiu prywatnym tego nie stosujemy. Choć warto zwrócić uwagę, że banki naliczają odsetki także od mikroskopijnych kwot i na całej populacji ich klientów to ma już znaczenie.

W praktyce wykorzystuje się te wzory przy negocjacjach handlowych, gdzie znaczenie ma CENA oraz CZAS, W KTÓRYM NASTĄPI ZAPŁATA. Przy dużych kontraktach to bardzo ważne, bo znacząco wpływa na osiąganą rentowność i warto wiedzieć, jakie znaczenie w pieniądzu ma wydłużenie lub skrócenie terminy zapłaty.

Zgodnie z obietnicą za tydzień napiszę o procencie składanym, czyli liczeniu wartości przyszłej w dłuższym okresie, w którym odsetki są kapitalizowane wielokrotnie...

czytaj dalej