094. Matura 1886 w zaborze austriackim. Zadanie z procentu składanego.

Jedno z najstarszych „ekonomicznych” zadań maturalnych, jakie znalazłem pochodzi z roku 1886, czyli sprzed 132 lat. Polska była wówczas pod zaborami, ale w zaborze austriackim matury odbywały się w języku polskim i można o nich poczytać w sprawozdaniach dyrekcji poszczególnych szkół.

We wrześniu 1886 roku na egzaminie maturalnym z matematyki przeprowadzonym w cesarsko-królewskim IV Gminazjum we Lwowie (możliwe, że była to matura o charakterze poprawkowym) znalazło się zadanie poświęcone procentowi składanemu. Treść zadania, którą znalazłem w „Sprawozdaniu Dyrektora C.K. Gimnazyum we Lwowie za rok szkolny 1887” (pisownia oryginalna), liczyła ledwie dwanaście słów i mieściła się w jednym zdaniu, które brzmiało: Po ilu latach podwoi się jakikolwiek kapitał dany na 5% składany?

Postarajmy się je rozwiązać.

Analiza treści zadania.

Zadanie dotyczy właściwości procentu składanego i jako takie ma bardzo uniwersalny charakter. Świadczy o tym sformułowanie „jakikolwiek kapitał”. Bo wysokość kapitału pierwotnego oczywiście nie ma wpływu na okres, w którym stan oszczędności zwiększy się o określoną ilość razy.

Obraz wyłaniający się z zadania jest następujący: pieniądze lokujemy na stały procent, który wynosi 5%. Raczej bezdyskusyjnie należy przyjąć, że chodzi o oprocentowanie liczone w skali roku. Naliczone odsetki będą kapitalizowane na rachunku lokaty. Pytanie brzmi: kiedy wartość lokaty osiągnie dwukrotność kwoty bazowej.

Rozwiązanie absolutnie matematyczne.

Problem postawiony w treści zadania można wyrazić następującym równaniem:

gdzie K- kwota kapitału, r- oprocentowanie, n-okres lokowania środków liczony w latach.

W przypadku naszego zadania należy rozwiązać następujące równanie:

gdzie niewiadomą jest n – liczba lat. Równanie błyskawicznie przekształcamy do postaci:

i już widzimy, że odpowiedzią jest:

I wszystko jasne. Ale tylko dla matematyka, bo każdy inny człowiek zapyta „czyli ile to wynosi?”.

Odpowiedź zrozumiała dla wszystkich.

Odpowiedź, którą każdy zrozumie, i która prawdopodobnie byłaby zgodna z oczekiwaniami cesarsko-królewskiej komisyji egzaminacyjnej, wymaga podania liczby lat.

Mając dostęp do Excela, możemy skorzystać z funkcji log(liczba;podstawa) i w ułamku sekundy przekonać, się, że 

czyli mówiąc praktycznie: przy oprocentowaniu 5% na podwojenie kapitału trzeba czekać 15 lat (dokładnie dwukrotność zostanie osiągnięta po 14,2067 latach, czyli 14 latach, 2 miesiącach i 15 dniach, ale bank i tak naliczać będzie odsetki w rocznicach założenia lokaty, więc trzeba czekać do końca 15 roku).

Jak sobie radzili C.K. maturzyści z roku 1886?

Excela nie mieli. Za to mieli tablice matematyczne, z których mogli odczytać między innymi przyrost kapitału lokowanego w oparciu o procent składany. Dziś o tablicach matematycznych mało kto pamięta. Coraz trudniej jest je znaleźć w bibliotekach i na strychach. Ale nie ma co płakać, bo mając Excela można je sobie w kilkanaście sekund sporządzić. Proszę bardzo:

Maturzysta z roku 1886 patrząc na dane z tablicy bez trudu odczyta, że jeśli ulokujemy kapitał na 5% po 15 latach osiągnie on wartość 2,0789 kwoty bazowej i udziela poprawnej odpowiedzi.

Jeśli miałby ochotę popatrzeć dłużej na dane z tablic to odkryje, że gdyby oprocentowanie wynosiło 6%, to na podwojenie wartości początkowego kapitału będziemy potrzebować jedynie 12 lat. Jeżeli natomiast oprocentowanie byłoby mniejsze to okres podwajania kapitału będzie dłuższy i wyniesie 18 lat (dla 4%), 24 lata (dla 3%) a w przypadku oprocentowania 1% i 2 % odpowiedź znajduje się na następnych stronach tablic... 

Gdyby się okazało, że korzystanie z tablic jest zabronione, pozostaje liczenie na piechotę. Można sobie pomóc i ograniczyć liczbę operacji. Konkretnie: wiadomo, że po pierwszym roku kapitał wyniesie 1,05.Po dwóch latach będzie to iloczyn 1,05*1,05, czyli 1,1025. Jeżeli ten wynik podniesiemy do kwadratu uzyskamy wynik dla czwartego roku. Dwie kolejne takie same operacje (podniesienie uzyskanego wyniku do kwadratu) zaprowadzą nas do wartości przypisanej dla okresu 16 lat. Będzie większa niż 2 i trzeba się będzie cofnąć w obliczeniach. Dwa kroki w tył i znajdziemy odpowiedź na zadanie. 

To wszystko jest jednak mocno rozczarowujące. Dokładnie jak poziom tego zadania… 

Inne zadania z tamtych czasów są mocniejsze merytorycznie. Nie ma więc co mówić o C.K. zadaniach dla C.K. maturzystów! Jeszcze się o tym przekonacie...

czytaj dalej

087. Matura 1924 w Poznaniu. Zadanie z ekonomii dobroczynności. Rozwiążesz?

Dokładnie rok temu po raz pierwszy zająłem się „ekonomicznymi” zadaniami z przedwojennych matur. Jako ciekawostkę przedstawiłem ekonomiczne tematy maturalne z języka polskiego. Tak, tak były takowe. Zainteresowanych odsyłam do posta 033. Ale o wiele częściej ekonomia (czy też matematyka finansowa) gościła pośród tematów na maturze z matematyki.

W międzyczasie właśnie temat przedwojennych matur stał się najbardziej popularny na moim blogu. Mam więc nadzieję, że kolejne zadanie, które dziś przedstawiam, znajdzie liczną grupę czytelników.

No to rozwiązujemy…

Treść zadania.

Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek, by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.

Źródło: „Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24 (zadanie dla oddziału typu starego; pisownia oryginalna).

Komentarz do zadania.

Im dłużej zajmuję się przedwojennymi zadaniami maturalnymi, tym większe mam wrażenie, że ich autorzy wykorzystywali je jako okazję do kształtowania postaw życiowych maturzystów. Tak też jest w tym zadaniu, które nieco żartobliwie określam mianem ekonomii dobroczynności.

Mamy bowiem darczyńcę przekazującego na szpital znaczną (nawet w dzisiejszych czasach) kwotę 150.000 zł. Kwota ta nie jest jednak w pełnej dyspozycji szpitala, co jest dość zaskakujące dla współczesnego czytelnika. Darowizna spoczywa bowiem na rachunku bankowym, a szpital ma prawo jedynie korzystać z dochodów z tego kapitału i to po uwzględnieniu uprawnień służącego, o którym darczyńca nie zapomniał (1.200 zł rocznie dożywotnio, czyli kolejny element filantropijny w tym zadaniu).

Bez dyskusji należy przyjąć, że oprocentowanie od darowanej kwoty liczone jest w skali roku (świadczą o tym pozostałe parametry zadania – wypłaty roczne z dochodów i brak wzmianki o innym niż roczny sposobie naliczania odsetek). Dopóki będzie żył służący, z naliczonych odsetek bank będzie wypłacał corocznie 4.200 złotych (1.200 zł dla służącego i 3.000 zł dla szpitala), a resztę odsetek skumuluje na rachunku. Gdy służący umrze (a nastąpi to po dziesięciu latach) całość odsetek naliczanych rocznie będzie przysługiwać szpitalowi.

W zadaniu chodzi o określenie kwoty odsetek, którą docelowo będzie otrzymywał szpital. Oczywiście będzie ona zależna od salda rachunku, jakie wystąpi za dziesięć lat.

Tu w zasadzie pojawia się jedyna wątpliwość w treści zadania. Jak bowiem rozumieć określenie „z dochodów [..] wypłacić z góry”? Moim zdaniem warunkiem dokonania wypłaty jest osiągnięcie dochodu, czyli pierwsza płatność na rzecz uprawnionych nastąpi po upływie roku, gdy bank naliczy odsetki. W pierwszym roku będzie to kwota 5.250 zł, z której bank wypłaci 1.200 służącemu, 3.000 szpitalowi a 1.050 doda do salda rachunku darowizny.

Nieco mylące jest tu określenie „z góry”. Gdyby pierwsza wypłata nastąpiła na początku pierwszego roku istnienia rachunku, to rzeczywiście byłoby to „z góry”, ale nie byłoby mowy o wypłacie „z dochodów”. Dlatego będę się trzymał mojego rozumienia sytuacji w tym zadaniu: najpierw dochód, potem wypłata dla szpitala i służącego.

Słowo o zmiennej wartości pieniądza.

Zadanie może trochę zaskakiwać, jeśli będziemy na nie patrzeć przez pryzmat współczesnej wartości pieniądza. Otóż może wydawać się, że jakkolwiek sama darowizna jest znaczna – 150.000 złotych, to jednak przysługujący służącemu i szpitalowi dochód roczny (odpowiednio 1.200 zł i 3.00 zł, czyli miesięcznie 100 zł i 250 zł.) wydaje się śmiesznie mały.

Błędem jest jednak spoglądanie na ówczesny pieniądz dzisiejszymi oczyma.

Kwota 150.000 nawet dziś jest kwotą znaczną. W roku 1924 była jednak prawdziwą fortuną. Pamiętajmy, że gospodarka Polski była wówczas zrujnowana zaborami, pierwszą wojną światową, wojną polsko-bolszewicką i hiperinflacją, która w zasadzie zniszczyła polski pieniądz. Naprawdę niełatwo było znaleźć kogoś, kto wiosną roku 1924, trzy miesiące po reformie walutowej Grabskiego dysponowałby taką kwotą w gotówce.

Obowiązująca wówczas stopa procentowa rzędu 3,5% zapewniała od kwoty 150.000 zł odsetki roczne w wysokości 5.250 zł, co odpowiada miesięcznej wartości 437,50 zł. I dziś kwota ta budzi uśmiech na twarzy.

Uśmiech zniknie, jeśli odniesiemy tę kwotę do ówczesnych zarobków korzystając z danych Małego Rocznika Statystycznego wydanego przez Główny Urząd Statystyczny w roku 1935. Wyczytamy tam, że dniówka robotnika rolnego wynosiła wówczas od 3,90 zł wiosną i jesienią do 5,60 zł. latem. To stawki dla mężczyzn. Dla kobiet wynosiły one odpowiednio 2,60 i 3,50. Oznacza to, że mężczyzna pracujący jako robotnik rolny mógł zarobić latem do 168 zł miesięcznie, pod warunkiem, że znalazł pracodawcę na trzydzieści dni w miesiącu. Ta sama skuteczność na rynku pracy wiosną i jesienią dawała mu ledwie 117 złotych miesięcznie. A rozważania są skrajnie teoretyczne, zważywszy na wysokie bezrobocie, wydolność organizmu i zwyczaje w Polsce, które ograniczały pracę do maksymalnie sześciu dni w tygodniu.

W maju 1932 roku przeciętne tygodniowe zarobki robotnika „w wielkim i średnim przemyśle przetwórczym” wynosiło 28,90 zł, czyli dochodziło do 130 złotych miesięcznie. Taka posada była spełnieniem marzeń zwykłych ludzi: zarobki były wypłacane co miesiąc i nie były uzależnione od pory roku.

Nieco lepiej sytuowani byli mundurowi i pracownicy administracji. W roku 1935 kapral Wojska Polskiego zarabiał miesięcznie 137 złotych (167 złotych, jeśli posiadał rodzinę), najliczniejsza dziesiąta grupa uposażenia w administracji państwowej (należało do niej wówczas 41.949 osób) miała wynagrodzenie miesięczne wynoszące 160 zł, a pensja na najniższym stanowisku w policji (posterunkowy w służbie zwykłej) to 190 złotych (150 zł pensji podstawowej i 40 złotych dodatku).

To dane za lata 1928 i 1935. Nasze zadanie osadzone jest w realiach roku 1924. Na stronie 179 Małego rocznika statystycznego 1935 możemy zobaczyć wykres przedstawiający zmianę siły nabywczej płac robotniczych względem poziomu z roku 1928. Okresem o najniższej realnej wartości płac były właśnie lata 1921-1923, gdy stanowiły one ledwie połowę wartości nabywczej z roku 1928.

Wracając do zadania: służący, któremu zapisano dożywotnio 1.200 rocznej pensji (100 złotych miesięcznie), miał zapewnione dochody zbliżone do pensji posterunkowego policji państwowej z roku 1935. A przecież mógł jeszcze podjąć jakąkolwiek dodatkową pracę, choć powiadano wówczas, że da się przeżyć za 60 zł. miesięcznie (źródło: „Jak się żyło przed wojną Wymarzone 200 zł” Tygodnik Zamojski 52 z 2012).

Z kolei kwoty zapisane szpitalowi pozwalały mu sfinansować pensję dwóch szeregowych pracowników w okresie życia służącego i czterech po jego śmierci. Przeliczając to na dzisiejsze warunki mielibyśmy płatności rzędu 6 tys. i 12 tys. Co miesiąc i bez ograniczenia czasowego. Naprawdę godna darowizna.

Rozwiązanie w Excelu.

Tego typu zadania są wręcz idealne do przeprowadzenia symulacji excelowej.

W kolejnych kolumnach mamy: saldo otwarcia, naliczone odsetki, wypłatę na rzecz szpitala i służącego (łącznie 4,2 tys. zł.) i część odsetek, która zostanie dodana do salda rachunku darowizny. Ostatnia wypłata dla służącego następuje na koniec dziesiątego roku. Więc całość odsetek naliczona w roku jedenastym przysługuje już szpitalowi.

Odpowiedzią jest więc kwota 5.681,13 zł.

Ale jak to obliczyć bez Excela?

Z tym zadaniem zostawiam PT Czytelników do końca miesiąca. Wśród osób, które nadeślą poprawne odpowiedzi (proszę korzystać z formularza kontaktowego) rozlosuję nagrodę książkową. 

Rozwiązanie zadania przedstawię 1 sierpnia.

Powodzenia.

czytaj dalej

082. Afery finansowe. Dlaczego tracimy w nich pieniądze?

Co jakiś czas media donoszą o wielkich aferach finansowych. Aferach, w których wielu ludzi traci bezpowrotnie swoje pieniądze. Niekiedy dorobek całego życia. Bezpieczna Kasa Oszczędności. Amber Gold. Teraz najprawdopodobniej sprawa GetBack. Co łączy te przypadki? Dlaczego się wydarzyły? Dlaczego ludzie tracą w ten sposób dorobek życia?
Jeśli lubisz sensację i wyznajesz spiskową teorię dziejów, to ten tekst Ci się nie spodoba. Wkurzysz się jeszcze bardziej, gdy Ci powiem, że popełniasz błąd, jeśli myślisz, że to wszystko wina wyłącznie służb i polityków. Może i zawiedli. Może nawet maczali w tym palce. Nic by się jednak nie wydarzyło, gdyby ludzie świadomie podejmowali decyzje. Gdyby krytycznie myśleli o ofertach, które otrzymują. Gdyby korzystali z praw ekonomii. Ale po kolei…

BKO. Amber Gold. GetBack. Podobieństwa.

Tym co łączy te trzy przypadki jest atrakcyjność ofert. Generalnie przekaz w każdym przypadku był następujący: jesteś frajerem, jeśli będziesz trzymał pieniądze na dziadowskim procencie w banku. My damy Ci znacznie więcej. Dwa. Trzy. Cztery razy więcej.

Wikipedia: Bezpieczna Kasa Oszczędności, instytucja oferująca znacznie wyższe oprocentowanie (sięgające nawet 300% rocznie) lokat złotówkowych niż tradycyjne banki. Miało to być możliwe, dzięki wymianie złotówek na dolary. Plan zawiódł, ponieważ po wprowadzeniu z dniem 1 stycznia 1990 pełnej wymienialności złotówki i sztywnego kursu dolara siła nabywcza tej waluty w warunkach wysokiej inflacji gwałtownie malała. Uważa się, że Kasie oszczędności powierzyło ok. 10 tys. osób (szacowano je przed denominacją na 25-26 mld starych złotych). […] Ostatecznie syndyk masy upadłościowej wypłacił łącznie klientom 7 mld. złotych, co odpowiadało 1/4 tej sumy z jesieni 1989.

Tak sformułowana oferta budzi jedną wątpliwość: w czym oferujący jest lepszy od sektora bankowego?  Że jest w stanie zaoferować trzykrotnie większe oprocentowanie? Bo co to oznacza? Że weźmie nasze pieniądze, obróci nimi tak skutecznie, że zarobi cztery razy więcej niż bank i łaskawie odda nam trzy czwarte swojego zysku.

Odpowiedzią jest dalsza część biznesowego story. Otóż Twoje pieniądze będą mądrze lokowane: w dolary USA (case BKO), złoto (case Amber Gold), albo obrót wierzytelnościami (case GetBack). Proste, prawda?

Tylko dlaczego „głupie” banki nie postępują w ten sam sposób?

Może dlatego, że kurs dolara, cena złota i skuteczność obrotu wierzytelnościami jest zmienna. Można wygrać albo przegrać. Czyli ponosi się ryzyko, którego nie da się przewidzieć. A pieniądze Klientom oddać trzeba. Więc bankom nie wolno „inwestować” w ten sposób. Bo jak taka inwestycja by nie wyszła i bank by zbankrutował, to pieniądze musiałby wypłacić Bankowy Fundusz Gwarancyjny, czyli… inne banki (kiedyś o tym napiszę). Więc nadzór bankowy i same banki też patrzą sobie wzajemnie na ręce i nie pozwalają robić takich inwestycji.

Niebezpieczeństwo rośnie.

Nie należy jednak uważać, że te trzy przypadki są takie same. Jest wręcz przeciwnie: jak na dłoni widać, że „model biznesowy” ewoluuje i to w bardzo niebezpieczną stronę.

Bezpieczna Kasa Oszczędności działała w sytuacji, w której rynek finansowy dopiero się tworzył. Była końcówka lat osiemdziesiątych. Mechanizmów rynkowych uczyliśmy się na bazarach. Nadzór finansowy nie istniał. Twórcy BKO wmówili ludziom, że na handlu walutą można tylko zarabiać. Postawiono budki, w których można było stać się uczestnikiem przyszłych cinkciarskich zysków. Wszystko w zacienionej rzeczywistości. Przaśnie. Ale wystarczyło.

Amber Gold to już inna bajka. Placówki w centrach handlowych, nakłady na reklamy, kontakty z politykami. Aktywność biznesowa właścicieli w innych branżach, w tym tak spektakularnych jak lotnictwo. Wszystko na oczach dojrzałego już nadzoru finansowego.

To jednak przedszkole na tle przypadku GetBack, który dodatkowo był notowany na giełdzie, publikował (do czasu!) miesięczne wyniki finansowe i posiadał ratingi nadane przez niezależne, międzynarodowe agencje. High life, którego nie powstydziłoby się londyńskie City…

Zatem chodzi o coś innego. O co?

Rozsądek, głupcze!

Oczywiście należy wyciągnąć wnioski z tego, co się stało (co się dzieje). Należy doszczelnić system nadzoru finansowego. Ale to zawsze będzie opóźnione w stosunku do rzeczywistości. Bo nie mam wątpliwości, że następny taki przypadek będzie jeszcze bardziej zaawansowany.

Prawdziwym lekarstwem jest wiedza!

W tym przypadku edukacja ekonomiczna. Której nie zastąpi rating wyspecjalizowanej agencji, czy nawet najlepszy nadzór finansowy.

Podstawowe prawo ekonomii.

Gdybym miał sprowadzić pięć lat studiów i dwadzieścia lat doświadczenia zawodowego do kilku prawd ekonomicznych, to jedna z nich brzmiałaby tak: w sytuacji rynkowej cena tego samego dobra oferowanego przez różnych sprzedawców musi być do siebie podobna. Jeśli się znacząco różni od siebie, to coś jest nie tak!

Mamy teraz sezon na truskawki. Kilogram kosztuje 8 złotych w sklepie osiedlowym. Może być tak, że u sprzedawcy ulicznego będą kosztowały 5-6 złotych. To uzasadnione, bo możliwe, że taki sprzedawca oferuje truskawki z własnego ogródka, nie płaci czynszu, ZUS-u i podatków. Ale jeśli zobaczymy truskawki w cenie 2 złote za kilogram, to będzie to dziwne. I to powinno skłonić nas do myślenia. Bo może pochodzą z kradzieży, a może nie są truskawkami, tylko jabłkami zerwanymi w ubiegłym roku pod Grójcem. Absurd, prawda? Nikt się na to nie nabierze, bo każdy wie czym różnią się truskawki od jabłek.

Benzyna. Cena przekroczyła 5 złotych. Na jednych stacjach już prawie 6. Na innych 5,20. A co powiedz, gdy nieznajomy będzie Ci oferował litr za złotówkę. W sensie cenowym oferta jest niesamowita. Za dwieście złotych pojedziesz do Rzymu. Jednak: wlejesz to coś do baku? Czy grzecznie pojedziesz na Orlen?

W sytuacji rynkowej cena tego samego dobra oferowanego przez różnych sprzedawców musi być do siebie podobna. Jeśli się znacząco różni do siebie, to coś jest nie tak!

Z produktami finansowymi jest tak samo. Oprocentowanie to też cena. To wynagrodzenie, jaką otrzymujemy za powierzenie komuś pieniędzy. Ten ktoś będzie nimi obracał, ale to nasze pieniądze i według prawa musi nam je oddać. Wraz z oprocentowaniem. I jeśli rynkowe oprocentowanie lokaty wynosi obecnie 1,5%-2% w skali roku, to jeśli ktoś oferuje 8%, to jest w tym coś dziwnego. Bo może wcale nie chce nam ich oddać. Albo to już nie jest lokata. Bo być może kupujemy też udział w ryzyku związanym z przedsięwzięciem tego kogoś i nie ma żadnej gwarancji, że ono się powiedzie.
Co sprawia, że rozsądek, z którego korzystamy kupując owoce i paliwo, przestaje działać, gdy chodzi o pieniądze? Nie badamy jakości benzyny oferowanej po złotówce, a jednak czegoś się boimy, prawda? Sięgnijmy do tych samych obaw, gdy widzimy nadzwyczajną ofertę finansową.

Wiedza nie zapobiegnie wszystkim nieszczęściom. Ale może nas ochronić. Warto więc o nią dbać. A nie tylko podniecać się transmisjami z obrad komisji śledczej…

czytaj dalej

081. O kasie dla dzieciaków. Przegląd książek ekonomicznych dla dzieci i młodzieży.

Pojutrze dzień dziecka. Prezenty pewnie już czekają. Ale może da się jeszcze do nich dołączyć coś z ekonomii dla najmłodszych. Bo na rynku od pewnego czasu pojawiają się książeczki dla dzieci i trochę poważniejsze dla młodzieży, które traktują o ekonomii.

Poniżej subiektywny przegląd niektórych z nich. Niektórych, bo opisałem tylko te, które mamy w domu. Na księgarskich półkach propozycji jest dużo więcej, ale nie zamierzam przepisywać cudzych recenzji. Zajrzyjcie do nich sami. Bo chociaż to książki dla dzieci, to jednak, jeśli się nad tym zastanowić, to może nie tylko...

„Przygody Kuby Pieniążka i Żyrafy Lokatki, czyli dziecięcy przewodnik po świecie pieniędzy”.

Jest to publikacja banku PKO BP towarzysząca skierowanej do dzieci ofercie Junior. Sama oferta jest bardzo ciekawa i dzieciom naprawdę się podoba. Ale dziś skupiam się na książeczce, którą można dostać bezpłatnie w oddziałach banku.

Tytułowy bohater Kuba Pieniążek ma siedem lat i w zamyśle autorów jest to książka dla dzieci kończących przedszkola i rozpoczynających szkołę podstawową. Książeczka traktuje o pieniądzu w przystępny dla dzieci sposób. Poszczególne rozdzialiki (zdrabniam, bo są naprawdę bardzo krótkie) opisują między innymi do czego służą pieniądze, skąd się wzięły, jak można je przekazywać i wreszcie jak je mądrze wydawać.

Książeczka jest bardzo kolorowa. Każdy rozdział zawiera też komiksowy dialog, którego wielką zaletą jest, że rolę eksperta objaśniającego świat pieniądza pełni dwunastoletnia siostra głównego bohatera. Oczywiście czyni to w bardzo przystępny sposób. Moim zdaniem to genialny zabieg, bo przy okazji dowodzi, że finanse nie są trudne. W pełni się z tym zgadzam. Brawo za pomysł.

We wstępie autorzy zachęcają do czytania tej książeczki wspólnie z dziećmi. To zadanie może też przejąć starsze rodzeństwo na zasadzie „skoro dwunastolenia Kasia Pieniążek jest ekspertem od ekonomii, to mogę być nim też i ja”. Potencjalnie może to zbudować dodatkową nić między rodzeństwem w różnym wieku. Polecam.

„Rozmowy z użyciem głowy, czyli ekonomia dla dzieci” Anny Garbolińskiej

To książka skierowana dla dzieci w wieku 9-14 lat. Autorka jest ekonomistką z wykształcenia, a prywatnie mamą dwójki dzieci, więc w książce znajdziemy sporą dawkę ekonomii przekazanej w sposób przystępny dla ucznia dolnej podstawówki. Poszczególne rozdziały książki zatytułowane są już w bardzo poważny sposób. „Bank”, „Monopol”, „Budżet”, „Inflacja” to tylko kilka przykładów. Ale że jest to książka dla dzieci, to już podtytuły rozdziałów mają zaskakującą, żartobliwą postać, która zapowiada dobrą zabawę dla także dorosłych czytelników. Przykładowo pełny tytuł rozdziału trzeciego brzmi „Monopol, czyli nocne hałasy, kolorowe banknoty i wiele więcej”, i podczas jego lektury zapoznamy się z aż trzema znaczeniami tego słowa.

Poszczególne rozdziały napisane są w formie dialogów głównej bohaterki z rodzicami, dziadkami i starszym bratem. Co ważne: przystępnych i dowcipnych. Jak się bowiem okazuje w języku potocznym występuje wiele określeń z języka ekonomii. Dorośli korzystają z nich często, choć nie zawsze zgodnie z ich znaczeniem, co niekiedy prowadzi do zabawnych nieporozumień, zwłaszcza, gdy za ich interpretację zabiera się dziecko. Rozmowa jednak zawsze prowadzi do wyjaśnienia wszelkich niejasności. Warto więc rozmawiać!

Ta pozycja to nie tylko zabawa, bo także najzupełniej poważnie uczy ekonomii, czego najlepszym dowodem jest bardzo naukowa recenzja pani profesor Wiesławy Przybylskiej-Kapuścińskiej, z którą możemy się zapoznać na ostatnich stronach książki. Recenzja kończy się słowami „Polecam i dzieciom, i rodzicom”. Nic dodać. Nic ująć.

„Świat pieniądza”

Książka napisana przez nastolatki Patrycję Krzanowską i Katarzynę Michalską, z bardzo ciekawymi grafikami autorstwa Magdy Grabowskiej-Wacławek. Jak piszą autorki: pomysł na napisanie książki wyszedł od Patrycji, która prywatnie jest córką jednego z polskich milionerów. Prawdopodobnie więc tematy ekonomiczne nie były jej obce, ale musiało czegoś brakować, bo – jak sama mówi – przeanalizowała książki o ekonomii dla młodzieży na polskim rynku i żadna z nich nie zaspokajała jej ciekawości. Lukę postanowiła uzupełnić pisząc książkę z grupą przyjaciół…

Książka ma imponującą grafikę. Mnie trochę przytłacza, ale z pewnością nie jestem w grupie targetowej, bo to ewidentnie książka dla nastolatków. Świadczy też o tym odwaga w podejmowanych tematach. Oprócz tych „grzecznych” z dziedziny ekonomii i finansów pojawiają się strzały z grubej rury: o ściemach w reklamach usług finansowych, aferach finansowych, powodach, dla których jedni są bogaci a inni biedni i tym, czy podatki to nie złodziejstwo. I choć to tematy kontrowersyjne, to trzeba powiedzieć, że autorki przedstawiają je uczciwie, ucząc przy tym, że wiele spraw może mieć podwójne dno i często proste rozwiązania po prostu nie istnieją.

Moim zdaniem bardzo ciekawa pozycja, odważnie napisana (nastolatkom się spodoba) i poruszająca mnóstwo tematów gospodarczych.

Zabawnie się złożyło, bo każda opisana książka jest dla nieco innej grupy wiekowej. Można więc dorastać z ekonomią, zmieniając tylko lektury. I oczywiście odwiedzać mojego bloga.

czytaj dalej

076. Ekonomia na Maturze 1929 w Państwowym Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu.

Dziś prezentuję rozwiązanie najmniej oczywistego pod względem ekonomicznym przedwojennego zadania maturalnego spośród umieszczonych w poście 063. Przypomnę, że na przedwojennych maturach z matematyki pojawiały się zadania o treściach zdecydowanie ekonomicznych. Zbiorek pięciu takich zadań opublikowałem w styczniu, ogłaszając przy tym konkurs z nagrodami za współudział w rozwiązaniu. Konkurs trwa. Nagrody czekają. Do rozwiązania pozostają zadania 2 i 4. Zapraszam.

Zastrzegam przy okazji, że tytuł dzisiejszego posta nie zawiera błędu. Taka była pisownia nazwy tej szkoły w 1929 roku. Kto nie wierzy, niech zajrzy do „Sprawozdania dyrekcji […] za rok szkolny 1928/29”.

Zadanie 5, którego treść przytaczam poniżej, wywołało ciekawą dyskusję mailową. Szczególnie istotną rolę w tej dyskusji odegrał Romek z Rybnika, który otrzymuje ode mnie książkę Jacka Walkiewicza „Pełna moc możliwości” oraz kilka gadżetów dodatkowych. Nagrodę wysłałem już pocztą.

No to rozwiązujemy!

Zadanie 5. (Matura 1929)

Gmina A ma obowiązek utrzymywania mostu na rzece w gminie B. Koszta utrzymania mostu wynoszą przeciętnie 1.000 zł co 5 lat. Gmina B okazuje chęć przejęcia tego ciężaru na siebie za jednorazowem wynagrodzeniem. Jaką kwotę ma złożyć gmina A, jeżeli liczy się procent składany 4 ½ a najbliższa naprawa mostu (a więc i przewidziany, połączony z tem wydatek 1.000 zł) ma nastąpić za 3 lata ?
Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu za rok szkolny 1928/29".

Komentarz do zadania.

Punktem wyjścia jest, że Gmina A jest zobowiązana do utrzymywania (naprawiania) mostu znajdującego się na terenie Gminy B. Remonty te odbywają się co pięć lat i ich koszty wynoszą przeciętnie 1.000 zł. Uważam, że nieco mylące jest słowo „przeciętnie”. Ekonomista poradzi sobie z nim bez trudu. Dla matematycznego purysty użycie tego słowa jest bliskie bluźnierstwu. Jestem jednak przekonany, że autorom zadania chodziło o to, że za każdym razem koszty remontu wynoszą dokładnie 1.000 zł, choć nie wyrazili tego jednoznacznie.

Gminy postanawiają się dogadać w ten sposób, że Gmina A zapłaci jeden raz za to, że już na zawsze uwolni się od obowiązku remontowania mostu. Ile powinna zapłacić zakładając, że najbliższy remont ma się odbyć za trzy lata.

Współczesny ekonomista powiedziałby, że w zadaniu chodzi o wycenę kosztów przyszłych remontów w cenach bieżących. Pytanie tylko których kosztów. Tzn. koszty z jakiego przedziału czasowego winny wejść do wyceny. Na tym współcześnie polegają negocjacje w sprawie wycen np. przedsiębiorstw. Wiadomo, jakie zyski przynosiło przedsiębiorstwo w przeszłości. Strony transakcji ustalają jaki będzie poziom zysków tego przedsiębiorstwa w przyszłości. I część tych zysków (np. z okresu dziesięciu lat) dyskontują do wartości bieżącej, ustalając, że to jest wartość przedsiębiorstwa. W takich przypadkach negocjacjom podlega ustalenie poziomu przyszłych zysków, wysokości stopy procentowej i okresu czasu, z których zyski będą brane pod uwagę. I z doświadczenia wiem, że niełatwo się dogadać…

W naszym znamy kwotę (1.000) i stopę procentową (4,5% - bez dyskusji należy przyjąć, że chodzi o stopę roczną). Pozostaje kwestia okresu. Ponieważ to jednak zadanie maturalne z matematyki, jestem skłonny uznać, że autorom chodziło o nieograniczony zakres czasu, czyli o zdyskontowanie kosztów wszystkich przyszłych remontów mostu począwszy od najbliższego, który się odbędzie za trzy lata, aż do plus nieskończoności. Bo matematyka nie znajdzie powodów, aby szereg przyszłych kosztów przerwać w którymś momencie.

Oczywiście dla ekonomisty to absurd. Ekonomista będzie chciał ograniczyć szereg analizowanych kosztów, bo nie przekonasz go, że nawet najlepiej remontowany most przetrwa milion lat. Jeśli myślisz podobnie, to znaczy, że bliżej Ci do ekonomii niż do matematyki. A nawet milion lat to jeszcze nie nieskończoność…

Słowo o dyskontowaniu.

W sensie obliczeniowym ustalenie bieżącej wartości w sytuacji kapitalizacji rocznej (tak jest w naszym zadaniu) odbywa się na podstawie wzoru:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:

PV – wartość bieżąca
FV – wartość przyszła
i – stopa procentowa
n – liczba lat

Używając tego wzoru dyskontujemy koszty każdego przyszłego remontu (wynoszącego zawsze 1.000 zł.) do wartości bieżącej. Dużym ułatwieniem jest excel, który w ułamku sekund prezentuje nam takie oto wyniki:

Pozostaje kwestia, o której pisałem wcześniej: które koszty wziąć pod uwagę.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk weźmie pod uwagę koszty z wszystkich przyszłych okresów aż do plus nieskończoności. Zdyskontuje je do wartości bieżącej i dopatrzy się, że ma do czynienia z szeregiem geometrycznym, którego pierwsze wyrazy to:

czyli mówiąc inaczej z szeregiem, którego pierwszym wyrazem jest

a ilorazem:

Matematyka ucieszy to, że wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza niż 1, bo to pozwoli mu zastosować wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

i jest już w domu, bo ma wszelkie dane, aby zadanie rozwiązać.

Jeśli odważymy się podstawić liczby to wyjdzie nam 4.435,85 zł. (skorzystałem z excela i oczywiście jest to wartość zaokrąglona do drugiego miejsca po przecinku, czyli do grosza, czyli nie jest idealnie matematyczna).

A jak ekonomista?

Ekonomista odrzuci dyskontowanie nieskończonego szeregu kosztów. A jego dylemat będzie polegał na tym, w którym momencie go przeciąć. To byłby główny punkt negocjacji pomiędzy gminami, gdyby sytuacja z zadania wydarzyła się naprawdę.

Jak by się skończyły te negocjacje? Nie wiemy, póki nie ponegocjujemy 😊.

Jakąś podpowiedzią współczesnej ekonomii może być obowiązująca stawka amortyzacyjna dla obiektów mostowych. W Polsce wynosi ona 4,5%, co oznacza, że według zasad księgowości mosty zmniejszają swoją wartość bilansową do zera w okresie 22,2 lat. Gdyby to uznać za wskazówkę należałoby zdyskontować jedynie koszty pierwszych czterech remontów. Dało by to wartość 2.596,55 zł.

Myślę jednak, że byłoby to nie do przyjęcia dla negocjatorów Gminy B. Po pierwsze oczekiwali by oni co najmniej uwzględnienia kosztów remontu przypadającego za 23 lata (a więc tuż po zakończeniu okresu amortyzacji mostu). To zwiększa wartość zdyskontowaną do poziomu 2.959,90. Po drugie zapewne zwracaliby uwagę na fakt, że w pełni zamortyzowany most (czyli most o zerowej wartości bilansowej) wciąż może służyć ludziom i tym samym wciąż trzeba go naprawiać.

Zresztą, zgodnie z zasadami księgowości, nakłady na remonty podnoszą wartość bilansową środka trwałego. A zatem moment całkowitego zamortyzowania mostu nastąpiłby później. Kiedy? To zależy od jego dzisiejszej wartości bilansowej, której w zadaniu nie podano.

Bo to jednak zadanie z matematyki.

Matematyka a ekonomia.

Przy okazji jak na dłoni widać różnice między ekonomią a matematyką. Matematyk zadanie rozwiąże, ale w tym przypadku z rozwiązaniem można będzie polemizować. Ekonomista namnoży założeń, a zadanie i tak pozostanie nierozwiązane... 😊😊😊

Zostało jeszcze dwa zadania do rozwiązania. Zachęcam.

A na zdjęciach przedstawiam most Ponte della Maddalena, łączący brzegi rzeki Serchio, znajdujący się w miejscowości Borgo a Mozzano w prowincji Lucca, w północnozachodniej części Toskanii, określanej lokalnie jako Garfagnana. Kamienny most oddany do użytku w 1115 roku, wciąż działa, choć jest zamknięty dla ruchu kołowego…
Nie mam pojęcia, jaka jest jego wartość bilansowa, jakie są koszty jego remontów i jak często są przeprowadzona.
Z pewnością jest bezcennym zabytkiem sztuki inżynierskiej.
Warto go ujrzeć na własne oczy!

czytaj dalej

072. Matura 1924 w Państwowym Gimnazjum im. Św. Marji Magdaleny w Poznaniu. Rozwiązanie zadania „ekonomicznego”.

Tytuł nie zawiera błędu. Zachowałem oryginalną pisownię nazwy szkoły, zgodną z dokumentami, a w szczególności „Sprawozdaniem dyrekcji […] za rok szkolny 1923/24”.

Przypomnę, że w poście 063 umieściłem pięć przedwojennych zadań maturalnych z matematyki, których treść - jako żywo – odnosi się do problemów ekonomicznych. Ogłosiłem też konkurs – Z NAGRODAMI – na rozwiązanie tych zadań. Rozwiązanie zadania 1 umieściłem w poście 069. Dziś rozwiązujemy zadanie 3. Zadania 2, 4 i 5 wciąż czekają na rozwiązania. Nagrody też.

Zadanie 3. (Matura 1924).

Ojciec zostawia dla dwojga dzieci kapitał K=20.000 zł, który opiekun umieszcza w banku na p=8%. Na wychowanie dzieci pobiera się z końcem każdego roku po a=1.800 zł., pozostałym zaś majątkiem dzielą się dzieci po n=10 latach. Ile otrzyma każde z nich?

Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24". (zadanie dla oddziału zreformowanego).

Komentarz do zadania.

Mamy 20.000 złotych w banku, ulokowane na 8%. Autor zadania nie pisze tego wprost, ale należy założyć, że jest to oprocentowanie w skali roku. Na koniec każdego roku będziemy mieć naliczenie odsetek i wypłatę stałej kwoty 1.800 „na wychowanie dzieci”. To będzie trwało dziesięć lat, a więc po dziesiątym roku zostaną jakieś pieniądze (zostałyby nawet, gdyby konto było nieoprocentowane), które zostaną wówczas podzielone między dwoje dzieci. Po ile dostaną?

Sytuacja w sumie życiowa, choć będąca prawdopodobnie następstwem jakiegoś nieszczęścia. W stosunku do dzisiejszych realiów mamy bardzo niską kwotę wypłat rocznych „na wychowanie dzieci”. Raptem 1,8 tys. zł. Szokuje za to stopa procentowa. Można by to zadanie uwspółcześnić w ten sposób, że wypłata następuje co miesiąc (to bardziej odpowiadałoby współczesnym kosztom życia), ale wówczas kapitał złożony w banku musiałby być o wiele większy, żeby zadanie miało sens.

Pierwszy laureat konkursu.

Rozwiązanie nadesłał Paweł, któremu zaproponowałem wybór jednej z trzech książek jako nagrody za trud maturalny: Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze"; Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking"; Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy". To tak, żebyście wiedzieli, że nagrody są na poważnie. Krótki opis tych książek na końcu posta.

Rozwiązanie Excelowe.

Paweł nadesłał rozwiązanie z wykorzystaniem Excela, które w całości zamieszczam poniżej. Nic dodać, nic ująć.

A jak to zadanie rozwiązałby matematyk?

Przedwojenny maturzysta z Excela skorzystać nie mógł. Musiał więc trudzić się korzystając z dorobku klasycznej (i w tym przypadku nieszczególnie trudnej) matematyki. Rozumowanie towarzyszące rozwiązaniu jest identyczne z rozwiązaniem innego zadania przedstawionego w poście 069. Dowodzi to, że autorzy przedwojennych zadań maturalnych kroczyli po tych samych ścieżkach myślowych.

Rozwiązujemy. Po pierwsze wyobrażamy sobie, że nie dokonujemy żądnych wypłat. Na rachunku do roku kumulowane są odsetki. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany
wzór

I wychodzi nam, że po dziesięciu latach nasz kapitał urósłby do poziomu 43.178,50 zł.

Na marginesie: popatrzcie, jak działa oprocentowanie, jeśli wynosi 8% a nie jak dziś 2% lub mniej….

W realiach zadania wypłacamy jednak co roku po 1,8 tys. Te wypłaty pomniejszają nasz kapitał zarówno o swoją wartość nominalną, jak i o odsetki, które bank by naliczył, gdyby wypłata nie nastąpiła. Pierwsza wypłata kwoty 1,8 tys. ma dla naszych oszczędności także ten skutek, że nie otrzymamy odsetek od tej kwoty po drugim, trzecim i każdym kolejnym roku.

Na łączny ujemny efekt corocznych wypłat po 1,8 tys. złożą się więc:

·       Dla wypłaty po pierwszym roku: wartość nominalna 1,8 tys. i dziewięciokrotne naliczenie odsetek

·       Dla wypłaty po drugim roku: wartość nominalna 1,8 tys. i ośmiokrotne naliczenie odsetek

·       …

·       Dla wypłaty po dziesiątym roku: tylko wartość nominalna 1,8 tys., bo naliczania odsetek już nie będzie.

A to nic innego jak ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 1.800 i ilorazie 1,08. Łączny negatywny skutek wypłat to z matematycznego punktu widzenia suma pierwszych dziesięciu elementów tego ciągu:

co dla matematyka jest pestką, gdyż skorzysta ze wzoru:

I wyjdzie mu 26.075,81.

Podsumowując: gdyby trzymać kapitał w banku bez wypłat uzyskano by po dziesięciu latach kwotę 43.178,50 zł. Coroczne wypłaty po 1,8 tys. w sumie pomniejszą nasze oszczędności o 26.075,81 zł. (wliczony skutek odsetkowy). Czyli do podziału pomiędzy dzieci pozostanie 17.102,69, czyli po 8.551,335 na dziecko.

Trudno oprzeć się wrażeniu, że rozwiązanie takich problemów przy pomocy Excela jest dużo prostsze.

Konkurs trwa.

Zostało jeszcze trzy zadania. Zapraszam. Paweł wybierze jedną z trzech książek, ale inne czekają na kolejnych śmiałków.

1. Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze" - spojrzenie na biznes z buddyjskiego punktu widzenia. Autor jest buddyjskim mnichem, który zaczął pracować w hurtowni diamentów i opisuje ten biznes z punktu widzenia tej religii. Buddystą nie jestem, ale książka jest OK.
2. Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking" - książka o tym, jak budować i pielęgnować kontakty biznesowe. Turniak jest takim polskim guru networkingu, zarabia w ten sposób, że jest jakby wodzirejem na dużych spotkaniach biznesowych, więc wie o czym pisze. Poznałem go osobiście - ciekawy gość.
3. Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy" - to taka kompleksowa książka o faktoringu (jednym z rodzajów finansowania przedsiębiorstw oferowanych przez banki). Na tle pierwszych dwóch propozycji ta książka zawiera najwięcej twardej wiedzy. Ale w dzisiejszych czasach naprawdę równie ważne co twarda wiedza są komunikacja (pozycja 2) i alternatywne spojrzenie na świat (pozycja 1).

czytaj dalej

069. Ekonomia na przedwojennej maturze: Rozwiązanie zadania z roku 1924.

Ogłoszony przeze mnie konkurs zakończył się klapą. Nie wpłynęło ani jedno rozwiązanie. Może zadania były za trudne. Może konkurs był słabo promowany. Albo nagrody za słabe. A może zwyciężyła obawa, że moim celem było wyciągnięcie danych osobowych. Nie wiem. Trudno. Czas pokazać rozwiązania. Dziś zadanie pierwsze.

Przy okazji: wydłużam termin konkursu. Jeśli ktoś przyśle mi rozwiązanie któregokolwiek z kolejnych zadań z przedwojennych matur (zadania 2-5; ich treść znajduje się w poście 063), to weźmie udział w losowaniu nagrody, czyli książki o tematyce ekonomicznej, znajdującej się w mojej bibliotece. Mam ich wiele. Nawet wspólnie z laureatem ustalimy, co go najbardziej interesuje.

Zadanie 1. (Matura 1924)

Złożono do banku 45000 zł na 4 ½ %. Jaką sumę można podnosić z banku corocznie w ciągu 12 lat zanim kapitał nie wyczerpie się ?

Źródło: „Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu za 1-sze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie (1919-1929)".

Komentarz do zadania.

Sytuacja przedstawiona w zadaniu jest dość przyjemna. Mamy w banku 45 tys. złotych ulokowane na 4,5%. Należy rozumieć, że w skali roku. Na koniec każdego roku naliczą się nam zatem odsetki i w tym samym momencie będziemy wypłacać pewną kwotę. Co roku tę samą w takiej wysokości, aby pieniędzy nam starczyło na dwanaście lat. Czyli innymi słowy: po dokonaniu dwunastej wypłaty mamy osiągnąć saldo zerowe. Pytanie brzmi: ile można wypłacać, aby pieniędzy starczyło na dwanaście lat.

Czy to sytuacja abstrakcyjna? Nie sądzę. Można to zadanie uwspółcześnić na przykład tak: rozpoczynając pięcioletnie studia otrzymujesz 45 tys. złotych, które wpłacasz do banku na 4,5% w skali roku. Ile możesz co roku wypłacać, żeby pieniędzy starczyło na cały okres studiów? Można je nawet jeszcze bardziej urealnić (tym samym skomplikować) pytając o wypłaty miesięczne. Zadanie jest prawie bliźniacze, a sytuacja jak najbardziej życiowa. No może za wyjątkiem stopy procentowej.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk zauważy przede wszystkim, że w tym zadaniu można dopatrzeć się dwóch ciągów geometrycznych. To chyba największa trudność rozwiązania, bo to nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, za to radykalnie ułatwia rozwiązanie zadania.

Po pierwsze wyobraźmy sobie, że z rachunku nie wypłacamy ani grosza. W ten sposób nasz kapitał będzie powiększany o odsetki naliczane raz w roku. Policzenie, ile zgromadzimy na koniec dwunastego roku jest bajecznie proste. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany, o którym zresztą pisałem w poście 049:

i wychodzi nam, że uzbieramy 76.314,66 zł.

Oczywiście w warunkach naszego zadania takiej kwoty nie uzbieramy nigdy, bo co roku będziemy dokonywać wypłaty tej samej kwoty K. Każda z wypłat pomniejszy zgromadzony kapitał a także odsetki od niego naliczane w następnych okresach. Ile w sumie będzie tych pomniejszeń?

Na koniec pierwszego roku wypłacimy kwotę K, od której - gdyby została w banku - bank naliczyłby nam odsetki jeszcze jedenaście razy. Rok później wypłacimy tę samą kwotę, którą - gdyby ją zostawić - podlegałaby oprocentowaniu jeszcze dziesięć razy. I tak dalej. Aż do ostatniej wypłaty, dokonanej na koniec dwunastego roku, po której saldo rachunku w banku osiągnie poziom zera. Z tym, że ta ostatnia wypłata pomniejszy nasze potencjalne korzyści jedynie o swoją wartość nominalną, gdyż to już koniec naszego okresu inwestowania i kolejnych odsetek już nie będzie.

Jeżeli na wpłaty spojrzymy od końca to z punktu widzenia matematyki mamy do czynienia z sumą dwunastu elementów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym K i ilorazie 1,045 (wynikającym z naliczenia oprocentowania 4,5%). Matematyk widzi tę sumę następująco:

I potrafi ją szybko obliczyć, bo na to matematyka podstawia gotowy wzór (na sumę n=12 pierwszych elementów ciągu geometrycznego), który w tym przypadku wygląda tak:

Teraz należy jedynie zauważyć, że te pomniejszenia naszej inwestycji (to, czego nie zarobimy, jeśli będziemy co roku wypłacać kwotę K) sumują się do wartości, którą byśmy zebrali, gdybyśmy wypłat nie dokonywali. To może być niełatwy moment dla niektórych rozwiązujących zadanie. Pomocą w zrozumieniu niech będzie pomysł, że to, co wypłacimy z rachunku bankowego wpłacimy na inny rachunek oprocentowany tak samo. Wówczas na pierwszym rachunku środków będzie coraz mniej, a na drugim coraz więcej. Mamy więc do czynienia niejako z dwiema inwestycjami o odwróconej kolejności sald ale tym samym wyniku odsetkowym.

Mamy więc do rozwiązania równanie: 

które żadnemu maturzyście kłopotów nie powinno sprawić, bo ma tylko jedną niewiadomą, a jego rozwiązaniem jest: K=4.934,98. Uwaga: zaokrąglenie; niewykluczone, że przedwojenne komisje egzaminacyjne uznawały wynik podany w formie ułamkowej.

A jak miłośnik Excela?

Dziewięćdziesiąt trzy lata jakie upłynęły od matury z analizowanym zadaniem przyniosły nam szereg nowoczesnych narzędzi obliczeniowych, w tym Excela dla którego to zadanie jest wręcz idealne. Historię zawartą w treści zadania możemy bowiem z łatwością zapisać w jego komórkach w następujący sposób:

Saldo na początku pierwszego roku to 45 tys. (komórka B4). Na koniec roku naliczamy odsetki (w kolumnie C: 4,5% od wartości z kolumny B) oraz dokonujemy wypłaty o stałej wartości, póki co nieznanej, wskazanej w komórce C1. Saldo końca roku (kolumna E) uwzględnia obie te operacje i jest przenoszone do następnego wiersza do kolumny B.

Rozumowanie to jest następnie powtarzane w kolejnych latach, aż do roku 12 (UWAGA: ukryłem wiersze z latami 3-11).

Taka struktura arkusza umożliwia nam skorzystanie z narzędzia "szukaj wyniku", które w Excelu z roku 2016 znajduje się w menu górnym Dane \ Analiza warunkowa \ Szukaj wyniku. Po wybraniu tej ścieżki otrzymujemy następujący formularz:

Zadanie, które w tym momencie zlecimy Excelowi, polega na znalezieniu takiej wartości komórki C1 (corocznej wypłaty z rachunku), aby wartość komórki E15 (saldo rachunku na koniec dwunastego roku) osiągnęło wartość 0. Czyli dokładnie to, o co chodzi w rozwiązywanym zadaniu maturalnym. Wciskamy [OK], Excel zaczyna działać i po chwili naszym oczom ukazuje się rozwiązanie:

Jak widać wynik wyszedł ten sam, co w metodzie matematycznej.

Która metoda jest lepsza? Maturzysta z roku 1924 nie miał wyjścia. Musiał rozwiązywać jak matematyk. Możliwe, że korzystał z tablic matematycznych, ale musiał pogłówkować a potem trochę się naobliczać. A kalkulatorów nie było...

Nie będę ukrywał, że zadanie to rozwiązałem najpierw korzystając z Excela. Wybaczcie moi profesorowie matematyki! Nie dawało mi jednak spokoju, że dwa pokolenia temu do rozwiązania tego zadania wystarczyło pióro i kartka papieru. I oto efekt. 

Myślę, że każdy, kto przeszedł taką drogę zasłużył na znaczek:

Zostało jeszcze kilka zadań do rozwiązania!

czytaj dalej