049. Oszczędzanie. Jak policzyć, ile zaoszczędzę? Czy można zyć z odsetek?

Kto z nas nie miał świnki-skarbonki?  Kto nie sprawdzał od czasu do czasu, ile jest w niej pieniędzy? Kto choć raz nie zastanawiał się, ile można by zebrać, gdyby przez pewien czas – najlepiej wiele lat – systematycznie wrzucać do niej monety i banknoty? 

Kto ma takie wspomnienia, ten zajmował się matematyką finansową. W pełni spontanicznie i całkiem możliwe, że nie zdając sobie sprawy z tego, że coś takiego w ogóle istnieje. A jednak! Bo w oszczędzaniu, które jest bardzo intuicyjne, chodzi przecież o pieniądz i czas, a tym właśnie zajmuje się matematyka finansowa, której tak wielu z nas się boi.

Znowu będę więc te obawy rozwiewał. Tym chętniej, że o oszczędzaniu można mówić na różnych poziomach zaawansowania, więc te obawy pojawiają się stopniowo.

Poziom pierwszy: prosta suma.

Czyli wersja dla początkujących i prawdopodobnie nasze pierwsze finansowe odkrycie, jeszcze z czasów przedszkolnych. Jeśli do skarbonki będę wrzucał pieniądze, to będzie ich coraz więcej. Jeśli raz w miesiącu wrzucę 10 złotych to po roku będę miał 120 złotych, po dziesięciu latach 1.200 złotych itd. Można mnożyć kwotę, zwiększać częstotliwość wrzutek i wydłużać okres gromadzenia oszczędności. Wystarczy zwykły kalkulator, albo pomoc kogoś ze starszych i już można poczuć majątek, który zgromadzimy za kilkadziesiąt lat.

To matematyka, ale jeszcze nie finansowa. Matematyka finansowa zaczyna się wówczas, gdy zaczniemy uwzględniać możliwość oprocentowania naszych oszczędności.

Poziom drugi: oprocentowanie.

Odkrycie, że oszczędności mogą być oprocentowane, jest pierwszym ważnym przełomem w myśleniu o własnych finansach. Okazuje się bowiem, że nasze pieniądze będą też powiększane przez wpłaty dokonywane przez kogoś innego. „Ale fajnie!” powiedziała moja córka, gdy na wyciągu z konta zobaczyła odsetki naliczane co tydzień przez bank. Zmartwił ją tylko podatek, który następnie bank zabierał z jej konta. Ale to inna sprawa…

W sytuacji, gdy mamy do czynienia z oprocentowaniem w skali roku i gdy naliczanie odsetek następuje na koniec okresu lokaty (a tak jest w zdecydowanej większości przypadków), wartość naszych pieniędzy po naliczeniu odsetek możemy policzyć według wzoru:

FV          - wartość przyszła, po naliczeniu odsetek

PV         - wartość początkowa

i             - stopa procentowa

d            - liczba dni, za które naliczono odsetki.

Poziom trzeci: życie z odsetek.

Skoro już wiemy, że bank nalicza odsetki, to może nam przyjść do głowy, że przy odpowiednio dużej kwocie pieniędzy powierzonej bankowi, nie trzeba już będzie chodzić do pracy – można będzie po prostu żyć z odsetek. Jeżeli nasze wydatki będą mniejsze niż naliczane nam odsetki, to nasz kapitał nie będzie się pomniejszał, a więc osiągniemy finansowe perpetum mobile.

Myśl jest kusząca. Pozostaje tylko kwestia oczekiwań co do przychodów z naszego kapitału, która zależy od jego wysokości i obowiązujących stóp procentowych. Jeżeli oprocentowanie wynosi akurat 2% w skali roku, to, aby otrzymywać miesięcznie 5.000 zł, musielibyśmy mieć kapitał w wysokości 3 milionów. Odsetki liczymy bowiem ze wzoru

Chociaż z drugiej strony to musi być trudne: mieć 3 miliony na koncie a wydawać tylko 5 tysięcy miesięcznie...Widać taki sposób życia nie jest dla każdego :)

Poziom czwarty: procent składany.

Naliczone odsetki można wydać, ale można też dodać do oszczędności i ulokować je na następny okres. W ten sposób w kolejnych okresach oprocentowane będą także odsetki, które wcześniej otrzymaliśmy. Pozornie wydaje się, że to bez znaczenia, ale tu zaczyna się prawdziwa magia matematyki finansowej. Liczne kapitalizacje działają jak finansowe koło zamachowe i wartość zgromadzonych oszczędności zaczyna rosnąć w coraz większym tempie.

Jeżeli kapitalizacja następuje raz w roku, to po n latach zgromadzimy:

Dlaczego „do potęgi n”? W sensie matematycznym naliczenie odsetek to przemnożenie kwoty bazowej przez (1+i). Po pierwszym roku będziemy mieć na koncie PV*(1+i) i cała ta kwota zostanie oprocentowana w kolejnym okresie, po którym będziemy mieć PV*(1+i)*(1+i) , czyli PV*(1+i) do potęgi drugiej. W trzecim roku ponownie mnożymy przez (1+i) i otrzymujemy PV*(1+i) do potęgi trzeciej itd.

Gdybyśmy jednak chcieli lokować nasze pieniądze na okresy inne niż rok to wysokość naszego kapitału po n kapitalizacjach osiągnie poziom:

Wzór zadziała pod warunkiem, że każda lokata w okresie oszczędzania będzie miała to samo oprocentowanie i oraz będzie założona na ten sam okres d dni.

Gdyby więc ulokować 10.000 złotych na 2% w skali roku, to po 20 latach zgromadzimy 14.913,28 (jeśli kapitalizacja będzie następować co miesiąc) albo 14.859,47 (w przypadku kapitalizacji rocznej). Mamy niskie stopy procentowe, więc kwota wrażenia nie robi (zarobimy niecałe 5.000 w ciągu 20 lat), ale z drugiej strony nic nie robiąc powiększymy kapitał prawie o 50%.

Poziom piąty: systematyczne oszczędzanie.

Czyli połączenie systematycznego wpłacania i lokowania zgromadzonych środków na określony procent. To najbardziej zaawansowana forma oszczędzania, więc wymaga odrębnego potraktowania. Zapraszam za tydzień…