048. Pieniądz i czas, czyli matematyka finansowa.

Posted by Mariusz Wdowiak on środa, października 11, 2017 with No comments

Sto złotych dostępne dzisiaj i sto złotych dostępne dopiero za miesiąc to nie to samo. Możliwe, że się nad tym nie zastanawiałeś, ale jeśli za wykonaną pracę masz otrzymać stówę to, gdy zapytają Cię, czy wypłacić ją od razu, czy za miesiąc, to z pewnością wybierzesz opcję pierwszą. Intuicyjnie postąpisz zgodnie z prawidłami ekonomii, a dokładnie matematyki finansowej, wedle której ta sama kwota dziś jest więcej warta niż w przyszłości.

Dlaczego wolimy pieniądze od razu?


Nawet ekonomiczny laik odpowie mniej więcej tak: „bo będę mógł od razu z nich korzystać, bo nie mam pewności czy na pewno je dostanę za miesiąc i wreszcie co ja z tego będę miał, że poczekam?”. I to jest kwintesencja ekonomii, choć wyrażona językiem potocznym.

Będę mógł korzystać od razu” – otrzymując pieniądze dziś zyskujesz prawo do posługiwania się nimi wedle Twojego życzenia. Nieważne, czy są Ci one dziś niezwykle potrzebne, czy nie. Mając je, masz prawo wybrać sposób ich zagospodarowania. W szczególności masz prawo powstrzymać się od korzystania z nich, ale to Twoja sprawa. Odroczenie zapłaty oznacza rezygnację z tego prawa. A za to należy Ci się wynagrodzenie…

„Nie mam pewności, czy je dostanę” – zgadzając się na odroczenie zapłaty przyjmujesz na siebie ryzyko, że wydarzy się coś, co sprawi, że pieniędzy jednak nie dostaniesz. Dokładnie tak rozumują banki udzielając kredytu i … biorą za to wynagrodzenie, więc i Tobie się ono należy…

„Co ja z tego będę miał, że poczekam?” – oznacza intuicyjną gotowość na odroczenie zapłaty, ale w zamian za coś. Czyli w zamian za dodatkowe wynagrodzenie, o którym podświadomie wiesz, że Ci się będzie należeć, jeśli zgodzisz się na czekanie. A z czego ono wynika z punktu widzenia ekonomii napisałem wyżej.

Do tego dochodzi inflacja. Możliwe, że jej nie odczuwamy, ale ona przecież jest i sprawia, że ta sama kwota wraz z upływem czasu ma coraz mniejszą wartość nabywczą (coraz mniej można za nią kupić). Zatem późniejsze otrzymanie tej samej kwoty jest dla nas czystą stratą z praktycznego punktu widzenia.

Podsumowując: mogę poczekać na pieniądze, ale musiałbym dostać więcej niż przysługuje mi dziś. Ale jak wyliczyć owe „więcej”?

Wartość pieniądza w czasie.


Zmiana wartości pieniądza w czasie wynika z obowiązujących stóp procentowych i tego, że pieniądze zawsze można wpłacić do banku i uzyskać za to oprocentowanie. Logika jest taka: nawet, jeśli nie mam pomysłu na wykorzystanie moich pieniędzy to mogę zrobić z nich lokatę i uzyskać więcej niż mam teraz. Więc co najmniej tyle samo powinienem otrzymać za opóźnioną wypłatę moich pieniędzy.

Wartość przyszła.


Jeśli moje 100 złotych wpłacę na lokatę roczną oprocentowaną 2% w skali roku to otrzymam 102 złote. Takie mamy teraz stopy procentowe, niestety. Oznacza to, że 100 złotych dzisiaj jest równe tyle, co 102 złotych za rok.

„Profesjonalny” wzór na powyższe obliczenia wygląda tak:

Rozszyfrujmy symbole:

FV          - przyszła wartość (skrót od angielskiego future value)
PV         - bieżąca wartość (skrót od angielskiego present value)
i             - stopa procentowa

No, ale okres, w którym obliczamy zmianę wartości pieniądza, może być przecież inny niż rok. Wówczas odsetki, jakie bank nam naliczy, dotyczą wyłącznie tej części roku, w której trwała nasza lokata. Matematycznie część roku to d/360 , gdzie d to liczba dni w naszej „części roku”.

Jeśli to uwzględnimy to nasz wzór na wartość przyszłą dla okresów innych niż rok będzie wyglądał następująco:
Teraz możemy sobie wyliczyć, że nasze dzisiejsze sto złotych za miesiąc będzie warte o 17 groszy więcej (założyłem oprocentowanie równe 2%).

Ten wzór działa prawidłowo, jeśli oprocentowanie jest liczone w skali roku i naliczenie odsetek (kapitalizacja) następuje w ostatnim dniu lokaty. A to występuje w zdecydowanej większości wypadków lokat do jednego roku. O dłuższych terminach i procencie składanym napiszę za tydzień.

Wartość bieżąca.


Problem wartości pieniądza można tez sformułować odwrotnie. Ile warta jest dziś kwota normalnie dostępna za jakiś czas? Z matematycznego punktu widzenia trzeba przekształcić powyższy wzór tak, aby zobaczyć „PV =”. Otrzymujemy:
I można z niego obliczyć na przykład ile muszę wpłacić na lokatę 2%, aby za pół roku (180 dni) mieć 5.000 złotych (powinno wyjść 4.950,50), albo ile jest warte dziś moje wynagrodzenie 2.000 złotych, które mam otrzymać za miesiąc (odpowiedź to 1.996,67).

Czy to ma zastosowanie?


Obliczenia nie robią żadnego wrażenia, jeśli mowa o małych kwotach, niskich poziomach stóp procentowych i krótkich okresach. Dlatego w życiu prywatnym tego nie stosujemy. Choć warto zwrócić uwagę, że banki naliczają odsetki także od mikroskopijnych kwot i na całej populacji ich klientów to ma już znaczenie.

W praktyce wykorzystuje się te wzory przy negocjacjach handlowych, gdzie znaczenie ma CENA oraz CZAS, W KTÓRYM NASTĄPI ZAPŁATA. Przy dużych kontraktach to bardzo ważne, bo znacząco wpływa na osiąganą rentowność i warto wiedzieć, jakie znaczenie w pieniądzu ma wydłużenie lub skrócenie terminy zapłaty.
Zgodnie z obietnicą za tydzień napiszę o procencie składanym, czyli liczeniu wartości przyszłej w dłuższym okresie, w którym odsetki są kapitalizowane wielokrotnie...