090. Matura 1924 z matematyki: ekonomia i filantropia w jednym zadaniu. Rozwiązanie.


Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek, by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.
Tak brzmiało jedno z zadań, z którymi zmagali się poznańscy maturzyści w roku 1924. Jego treść zaczerpnąłem ze Sprawozdania dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24 (zadanie dla oddziału typu starego; pisownia nazwy szkoły oryginalna). Na początku lipca umieściłem na blogu analizę treści tego zadania oraz rozwiązanie w Excelu (tego typu zadania idealnie wpisują się w możliwości arkusza kalkulacyjnego). Dziś przedstawię rozwiązanie „analogowe”, czyli takie, które było w zasięgu maturzystów sprzed dziewięćdziesięciu sześciu lat.
 Zadanie sprowokowało ciekawą dyskusję mailową. Szczególne podziękowania dla Szymona z Cieszyna, którego rozumowanie (i wątpliwości) są wykorzystane w tym artykule. „Honorarium” (przewodnik Pascala „Nowy pomysł na Polskę” i kilka gadżetów towarzyszących) zostało już wysłane pocztą.

 Na zdjęciu powyżej przedwojenni polscy matematycy Stefan Banach i Otto Nikodym dyskutujący zawzięcie na krakowskich Plantach. Zapewne o matematyce...

Jak to zadanie rozwiązywał przedwojenny maturzysta?


W tym miejscu oddaję głos Szymonowi, który napisał tak:
Kapitał po dziesięciu latach jest różnicą lokaty [oprocentowanej] 3,5% rocznie z kapitalizacją na końcu [każdego] roku oraz dziesięcioletniej renty [płatnej] z dołu o wypłacie 4.200 zł.

Rozwiązaniem zadania jest kwota odsetek od tego kapitału, czyli 3,5% od tak obliczonej wartości.

Minimalna liczba słów, zawierająca jednak całość rozumowania. Widać, że ich autor jest umysłem ścisłym. I to jakim! Prowadzi bloga https://byc-matematykiem.pl, którego polecam wszystkim miłośnikom matematyki. 

Dla odmiany ekonomia jest nauką społeczną, opiera się na mówieniu, więc mi wyjaśnienie tego zagadnienia zajęło dwa ekrany tekstu (por. post 072.). Warto kontaktować się z czytelnikami, bo można się czegoś nauczyć. 😊

Rzeczywiście w tym zadaniu mamy dwie operacje finansowe. Jedną jest lokata, która po dziesięciu latach (dziesięciu kapitalizacjach odsetek) zwiększy swą wartość do:

gdzie K to lokowana kwota (specjalnie nie określam jej wartości, bo budzi wątpliwości).


Druga operacja to wypłaty tej samej kwoty 4.200 zł w stałych (rocznych) odstępach czasu. W matematyce finansowej taki ciąg nosi nazwę renty i wyprowadzone są wzory na końcową sumę takich płatności w zależności od tego, czy płatność następuje z góry, czy z dołu.


W treści naszego zadania pada określenie „płatne z góry”. Można na to zadania patrzeć jak na rentę płatną z dołu (czyli po zaksięgowaniu rocznych odsetek), mając jednak w głowie kwestię tego, jaka kwota podlegała oprocentowaniu w pierwszym roku (150.000 czy 145.800).
Wzór na sumę wartości dziesięcioletniej renty płatnej z dołu dla wartości z tego zadania wygląda tak:
Pozostaje tylko zdecydować się na wartość K, obliczyć obie wartości, odjąć od siebie, przemnożyć przez 3,5% i wręczyć arkusz odpowiedzi komisji egzaminacyjnej.

Spis wątpliwości.



W zadaniu są dwie niejasności.


O pierwszej pisałem trzy tygodnie temu. Dotyczy wartości lokowanej kwoty i wynika z niejasnego moim zdaniem określenia „z dochodów […] płatne z góry”. Jeśli płatność następuje „z dochodu”, to konieczne jest naliczenie odsetek, czyli pierwsza płatność następuje po roku (i trudno ją nazwać płatnością z góry). Jeśli płatność następuje z góry, to w przypadku pierwszej płatności trudno mówić o wypłacie „z dochodu”, bo jest realizowana z zapisanego kapitału.


W zależności od wyboru rozumowania oprocentowaniu będzie podlegać albo kwota 150.000 złotych albo 145.800 i to oczywiście ma wpływ na ostateczną odpowiedź.
Druga wątpliwość związana jest z długością życia służącego, a dotyczy konkretnie tego, czy służący zdąży przed śmiercią odebrać 1.200 złotych po dziesiątym roku lokaty czy nie. Gdyby treść zadania mówiła, że będzie żył dziewięć i pół roku, wątpliwości by nie było. Jeśli rozumieć dosłownie, że żył dziesięć lat, to zmarł dokładnie w dniu zapadalności lokaty po dziesiątym roku. W dzisiejszych realiach oznaczałoby to, że na koniec dnia (dziesiątej rocznicy lokaty) bank naliczyłby odsetki i dokonałby transferu, przy czym najprawdopodobniej służący już by z nich nie skorzystał…
Mi osobiście bardzo podobają się takie niejasności, bo pozwalają pokazać sposób rozumowania. A przecież właśnie to jest najważniejsze. Mając takie wątpliwości opisałbym je, jeszcze przed rozpoczęciem rozwiązywania zadania w sensie matematycznym. I jestem przekonany, że znalazłoby to uznanie wśród członków komisji egzaminacyjnej z roku 1924, a także tej z roku 1992 przed którą sam zdawałem maturę.
Jak by to było dzisiaj? Czy trzeba byłoby się odwoływać? Nie wiem…

Jeszcze raz Excel.



W zależności od przyjętego rozumowania to zadanie może doprowadzić do różnych rozwiązań liczbowych. Ot taka ciekawostka. Ogromną pomocą jest w takich przypadkach Excel. Budujemy arkusz i w zależności od tego, jaką kwotę bazową wpiszemy i kiedy przerwiemy naliczanie odsetek otrzymamy rozwiązania naszego zadania bez żmudnych kalkulacji.

 Policzyć sobie można ze wzorów podanych powyżej, a poprawne rozwiązania (w sumie cztery warianty w zależności od interpretacji treści zadania) są zaprezentowane poniżej. Powodzenia!