076. Ekonomia na Maturze 1929 w Państwowym Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu.

Dziś prezentuję rozwiązanie najmniej oczywistego pod względem ekonomicznym przedwojennego zadania maturalnego spośród umieszczonych w poście 063. Przypomnę, że na przedwojennych maturach z matematyki pojawiały się zadania o treściach zdecydowanie ekonomicznych. Zbiorek pięciu takich zadań opublikowałem w styczniu, ogłaszając przy tym konkurs z nagrodami za współudział w rozwiązaniu. Konkurs trwa. Nagrody czekają. Do rozwiązania pozostają zadania 2 i 4. Zapraszam.

Zastrzegam przy okazji, że tytuł dzisiejszego posta nie zawiera błędu. Taka była pisownia nazwy tej szkoły w 1929 roku. Kto nie wierzy, niech zajrzy do „Sprawozdania dyrekcji […] za rok szkolny 1928/29”.
Zadanie 5, którego treść przytaczam poniżej, wywołało ciekawą dyskusję mailową. Szczególnie istotną rolę w tej dyskusji odegrał Romek z Rybnika, który otrzymuje ode mnie książkę Jacka Walkiewicza „Pełna moc możliwości” oraz kilka gadżetów dodatkowych. Nagrodę wysłałem już pocztą.
No to rozwiązujemy!


Zadanie 5. (Matura 1929)

Gmina A ma obowiązek utrzymywania mostu na rzece w gminie B. Koszta utrzymania mostu wynoszą przeciętnie 1.000 zł co 5 lat. Gmina B okazuje chęć przejęcia tego ciężaru na siebie za jednorazowem wynagrodzeniem. Jaką kwotę ma złożyć gmina A, jeżeli liczy się procent składany 4 ½ a najbliższa naprawa mostu (a więc i przewidziany, połączony z tem wydatek 1.000 zł) ma nastąpić za 3 lata ?
Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Juljusza Słowackiego w Przemyślu za rok szkolny 1928/29".

Komentarz do zadania.

Punktem wyjścia jest, że Gmina A jest zobowiązana do utrzymywania (naprawiania) mostu znajdującego się na terenie Gminy B. Remonty te odbywają się co pięć lat i ich koszty wynoszą przeciętnie 1.000 zł. Uważam, że nieco mylące jest słowo „przeciętnie”. Ekonomista poradzi sobie z nim bez trudu. Dla matematycznego purysty użycie tego słowa jest bliskie bluźnierstwu. Jestem jednak przekonany, że autorom zadania chodziło o to, że za każdym razem koszty remontu wynoszą dokładnie 1.000 zł, choć nie wyrazili tego jednoznacznie.

Gminy postanawiają się dogadać w ten sposób, że Gmina A zapłaci jeden raz za to, że już na zawsze uwolni się od obowiązku remontowania mostu. Ile powinna zapłacić zakładając, że najbliższy remont ma się odbyć za trzy lata.
Współczesny ekonomista powiedziałby, że w zadaniu chodzi o wycenę kosztów przyszłych remontów w cenach bieżących. Pytanie tylko których kosztów. Tzn. koszty z jakiego przedziału czasowego winny wejść do wyceny. Na tym współcześnie polegają negocjacje w sprawie wycen np. przedsiębiorstw. Wiadomo, jakie zyski przynosiło przedsiębiorstwo w przeszłości. Strony transakcji ustalają jaki będzie poziom zysków tego przedsiębiorstwa w przyszłości. I część tych zysków (np. z okresu dziesięciu lat) dyskontują do wartości bieżącej, ustalając, że to jest wartość przedsiębiorstwa. W takich przypadkach negocjacjom podlega ustalenie poziomu przyszłych zysków, wysokości stopy procentowej i okresu czasu, z których zyski będą brane pod uwagę. I z doświadczenia wiem, że niełatwo się dogadać…

W naszym znamy kwotę (1.000) i stopę procentową (4,5% - bez dyskusji należy przyjąć, że chodzi o stopę roczną). Pozostaje kwestia okresu. Ponieważ to jednak zadanie maturalne z matematyki, jestem skłonny uznać, że autorom chodziło o nieograniczony zakres czasu, czyli o zdyskontowanie kosztów wszystkich przyszłych remontów mostu począwszy od najbliższego, który się odbędzie za trzy lata, aż do plus nieskończoności. Bo matematyka nie znajdzie powodów, aby szereg przyszłych kosztów przerwać w którymś momencie.
Oczywiście dla ekonomisty to absurd. Ekonomista będzie chciał ograniczyć szereg analizowanych kosztów, bo nie przekonasz go, że nawet najlepiej remontowany most przetrwa milion lat. Jeśli myślisz podobnie, to znaczy, że bliżej Ci do ekonomii niż do matematyki. A nawet milion lat to jeszcze nie nieskończoność…

Słowo o dyskontowaniu.

W sensie obliczeniowym ustalenie bieżącej wartości w sytuacji kapitalizacji rocznej (tak jest w naszym zadaniu) odbywa się na podstawie wzoru:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:
PV – wartość bieżąca
FV – wartość przyszła
i – stopa procentowa
n – liczba lat

Używając tego wzoru dyskontujemy koszty każdego przyszłego remontu (wynoszącego zawsze 1.000 zł.) do wartości bieżącej. Dużym ułatwieniem jest excel, który w ułamku sekund prezentuje nam takie oto wyniki:

Pozostaje kwestia, o której pisałem wcześniej: które koszty wziąć pod uwagę.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk weźmie pod uwagę koszty z wszystkich przyszłych okresów aż do plus nieskończoności. Zdyskontuje je do wartości bieżącej i dopatrzy się, że ma do czynienia z szeregiem geometrycznym, którego pierwsze wyrazy to:

czyli mówiąc inaczej z szeregiem, którego pierwszym wyrazem jest

a ilorazem:


Matematyka ucieszy to, że wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza niż 1, bo to pozwoli mu zastosować wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:
i jest już w domu, bo ma wszelkie dane, aby zadanie rozwiązać.
Jeśli odważymy się podstawić liczby to wyjdzie nam 4.435,85 zł. (skorzystałem z excela i oczywiście jest to wartość zaokrąglona do drugiego miejsca po przecinku, czyli do grosza, czyli nie jest idealnie matematyczna).

A jak ekonomista?

Ekonomista odrzuci dyskontowanie nieskończonego szeregu kosztów. A jego dylemat będzie polegał na tym, w którym momencie go przeciąć. To byłby główny punkt negocjacji pomiędzy gminami, gdyby sytuacja z zadania wydarzyła się naprawdę.

Jak by się skończyły te negocjacje? Nie wiemy, póki nie ponegocjujemy 😊.
Jakąś podpowiedzią współczesnej ekonomii może być obowiązująca stawka amortyzacyjna dla obiektów mostowych. W Polsce wynosi ona 4,5%, co oznacza, że według zasad księgowości mosty zmniejszają swoją wartość bilansową do zera w okresie 22,2 lat. Gdyby to uznać za wskazówkę należałoby zdyskontować jedynie koszty pierwszych czterech remontów. Dało by to wartość 2.596,55 zł.

Myślę jednak, że byłoby to nie do przyjęcia dla negocjatorów Gminy B. Po pierwsze oczekiwali by oni co najmniej uwzględnienia kosztów remontu przypadającego za 23 lata (a więc tuż po zakończeniu okresu amortyzacji mostu). To zwiększa wartość zdyskontowaną do poziomu 2.959,90. Po drugie zapewne zwracaliby uwagę na fakt, że w pełni zamortyzowany most (czyli most o zerowej wartości bilansowej) wciąż może służyć ludziom i tym samym wciąż trzeba go naprawiać.
Zresztą, zgodnie z zasadami księgowości, nakłady na remonty podnoszą wartość bilansową środka trwałego. A zatem moment całkowitego zamortyzowania mostu nastąpiłby później. Kiedy? To zależy od jego dzisiejszej wartości bilansowej, której w zadaniu nie podano.

Bo to jednak zadanie z matematyki.

Matematyka a ekonomia.

Przy okazji jak na dłoni widać różnice między ekonomią a matematyką. Matematyk zadanie rozwiąże, ale w tym przypadku z rozwiązaniem można będzie polemizować. Ekonomista namnoży założeń, a zadanie i tak pozostanie nierozwiązane... 😊😊😊


Zostało jeszcze dwa zadania do rozwiązania. Zachęcam.
A na zdjęciach przedstawiam most Ponte della Maddalena, łączący brzegi rzeki Serchio, znajdujący się w miejscowości Borgo a Mozzano w prowincji Lucca, w północnozachodniej części Toskanii, określanej lokalnie jako Garfagnana. Kamienny most oddany do użytku w 1115 roku, wciąż działa, choć jest zamknięty dla ruchu kołowego…
Nie mam pojęcia, jaka jest jego wartość bilansowa, jakie są koszty jego remontów i jak często są przeprowadzona.
Z pewnością jest bezcennym zabytkiem sztuki inżynierskiej.
Warto go ujrzeć na własne oczy!