072. Matura 1924 w Państwowym Gimnazjum im. Św. Marji Magdaleny w Poznaniu. Rozwiązanie zadania „ekonomicznego”.

Tytuł nie zawiera błędu. Zachowałem oryginalną pisownię nazwy szkoły, zgodną z dokumentami, a w szczególności „Sprawozdaniem dyrekcji […] za rok szkolny 1923/24”.

Przypomnę, że w poście 063 umieściłem pięć przedwojennych zadań maturalnych z matematyki, których treść - jako żywo – odnosi się do problemów ekonomicznych. Ogłosiłem też konkurs – Z NAGRODAMI – na rozwiązanie tych zadań. Rozwiązanie zadania 1 umieściłem w poście 069. Dziś rozwiązujemy zadanie 3. Zadania 2, 4 i 5 wciąż czekają na rozwiązania. Nagrody też.

Zadanie 3. (Matura 1924).

Ojciec zostawia dla dwojga dzieci kapitał K=20.000 zł, który opiekun umieszcza w banku na p=8%. Na wychowanie dzieci pobiera się z końcem każdego roku po a=1.800 zł., pozostałym zaś majątkiem dzielą się dzieci po n=10 latach. Ile otrzyma każde z nich?

Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24". (zadanie dla oddziału zreformowanego).

Komentarz do zadania.

Mamy 20.000 złotych w banku, ulokowane na 8%. Autor zadania nie pisze tego wprost, ale należy założyć, że jest to oprocentowanie w skali roku. Na koniec każdego roku będziemy mieć naliczenie odsetek i wypłatę stałej kwoty 1.800 „na wychowanie dzieci”. To będzie trwało dziesięć lat, a więc po dziesiątym roku zostaną jakieś pieniądze (zostałyby nawet, gdyby konto było nieoprocentowane), które zostaną wówczas podzielone między dwoje dzieci. Po ile dostaną?

Sytuacja w sumie życiowa, choć będąca prawdopodobnie następstwem jakiegoś nieszczęścia. W stosunku do dzisiejszych realiów mamy bardzo niską kwotę wypłat rocznych „na wychowanie dzieci”. Raptem 1,8 tys. zł. Szokuje za to stopa procentowa. Można by to zadanie uwspółcześnić w ten sposób, że wypłata następuje co miesiąc (to bardziej odpowiadałoby współczesnym kosztom życia), ale wówczas kapitał złożony w banku musiałby być o wiele większy, żeby zadanie miało sens.

Pierwszy laureat konkursu.

Rozwiązanie nadesłał Paweł, któremu zaproponowałem wybór jednej z trzech książek jako nagrody za trud maturalny: Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze"; Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking"; Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy". To tak, żebyście wiedzieli, że nagrody są na poważnie. Krótki opis tych książek na końcu posta.

Rozwiązanie Excelowe.

Paweł nadesłał rozwiązanie z wykorzystaniem Excela, które w całości zamieszczam poniżej. Nic dodać, nic ująć.

A jak to zadanie rozwiązałby matematyk?

Przedwojenny maturzysta z Excela skorzystać nie mógł. Musiał więc trudzić się korzystając z dorobku klasycznej (i w tym przypadku nieszczególnie trudnej) matematyki. Rozumowanie towarzyszące rozwiązaniu jest identyczne z rozwiązaniem innego zadania przedstawionego w poście 069. Dowodzi to, że autorzy przedwojennych zadań maturalnych kroczyli po tych samych ścieżkach myślowych.

Rozwiązujemy. Po pierwsze wyobrażamy sobie, że nie dokonujemy żądnych wypłat. Na rachunku do roku kumulowane są odsetki. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany
wzór

I wychodzi nam, że po dziesięciu latach nasz kapitał urósłby do poziomu 43.178,50 zł.

Na marginesie: popatrzcie, jak działa oprocentowanie, jeśli wynosi 8% a nie jak dziś 2% lub mniej….

W realiach zadania wypłacamy jednak co roku po 1,8 tys. Te wypłaty pomniejszają nasz kapitał zarówno o swoją wartość nominalną, jak i o odsetki, które bank by naliczył, gdyby wypłata nie nastąpiła. Pierwsza wypłata kwoty 1,8 tys. ma dla naszych oszczędności także ten skutek, że nie otrzymamy odsetek od tej kwoty po drugim, trzecim i każdym kolejnym roku.

Na łączny ujemny efekt corocznych wypłat po 1,8 tys. złożą się więc:

·       Dla wypłaty po pierwszym roku: wartość nominalna 1,8 tys. i dziewięciokrotne naliczenie odsetek

·       Dla wypłaty po drugim roku: wartość nominalna 1,8 tys. i ośmiokrotne naliczenie odsetek

·       …

·       Dla wypłaty po dziesiątym roku: tylko wartość nominalna 1,8 tys., bo naliczania odsetek już nie będzie.

A to nic innego jak ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 1.800 i ilorazie 1,08. Łączny negatywny skutek wypłat to z matematycznego punktu widzenia suma pierwszych dziesięciu elementów tego ciągu:

co dla matematyka jest pestką, gdyż skorzysta ze wzoru:

I wyjdzie mu 26.075,81.

Podsumowując: gdyby trzymać kapitał w banku bez wypłat uzyskano by po dziesięciu latach kwotę 43.178,50 zł. Coroczne wypłaty po 1,8 tys. w sumie pomniejszą nasze oszczędności o 26.075,81 zł. (wliczony skutek odsetkowy). Czyli do podziału pomiędzy dzieci pozostanie 17.102,69, czyli po 8.551,335 na dziecko.

Trudno oprzeć się wrażeniu, że rozwiązanie takich problemów przy pomocy Excela jest dużo prostsze.

Konkurs trwa.

Zostało jeszcze trzy zadania. Zapraszam. Paweł wybierze jedną z trzech książek, ale inne czekają na kolejnych śmiałków.

1. Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze" - spojrzenie na biznes z buddyjskiego punktu widzenia. Autor jest buddyjskim mnichem, który zaczął pracować w hurtowni diamentów i opisuje ten biznes z punktu widzenia tej religii. Buddystą nie jestem, ale książka jest OK.
2. Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking" - książka o tym, jak budować i pielęgnować kontakty biznesowe. Turniak jest takim polskim guru networkingu, zarabia w ten sposób, że jest jakby wodzirejem na dużych spotkaniach biznesowych, więc wie o czym pisze. Poznałem go osobiście - ciekawy gość.
3. Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy" - to taka kompleksowa książka o faktoringu (jednym z rodzajów finansowania przedsiębiorstw oferowanych przez banki). Na tle pierwszych dwóch propozycji ta książka zawiera najwięcej twardej wiedzy. Ale w dzisiejszych czasach naprawdę równie ważne co twarda wiedza są komunikacja (pozycja 2) i alternatywne spojrzenie na świat (pozycja 1).

czytaj dalej

071. Jak (nie) rozmawiać z bankiem o kredycie?

Dziś pierwszy dzień wiosny, więc można sobie pozwolić na nieco bardziej żartobliwy ton. Także w poważnych tematach. Jednym z nich jest sposób prowadzenia rozmowy o kredycie, który chcemy zaciągnąć. Dlatego załączam film instruktażowy, który – choć został nakręcony w roku 1975 – jest wciąż aktualny i pokazuje, jakie błędy można popełniać podczas rozmowy o pożyczaniu pieniędzy. Także dziś.

Niech Was nie zmyli to, że rozmowa odbywa się w kurniku. Spotykają się bowiem ten, który pieniędzy potrzebuje z tym, który ma. Dzięki temu, że bohater udaje się po pożyczkę do bogatego szwagra a nie do banku, w filmie padają słowa, których dziś w instytucjach finansowych nie usłyszymy. Tym bardziej warto na nie zwrócić uwagę. A rozmowa zaczyna się od zdania:

„No to gadaj, co tam kombinujesz.”

Idealne otwarcie rozmowy o kredycie przez pracownika banku. Oczywiście dziś usłyszymy raczej coś w rodzaju „dziękujemy, że zdecydował się Pan opowiedzieć o swych niezwykłych zamierzeniach akurat w naszym banku”. Mamy tu jednak niewątpliwie do czynienia z zachęceniem kandydata na kredytobiorcę, aby szczerze opowiedział o swoich planach. I to się jak najbardziej zdarza także współcześnie. Młodszym czytelnikom wyjaśnię, że za PRL-u słowo „kombinować” miało jednoznacznie pozytywne konotacje. „Kombinowałeś” znaczy miałeś nieszablonowy sposób na obejście szarej rzeczywistości. A jeśli robiłeś to w obszarze finansów to już byłeś w elicie narodu. Naprawdę.

W filmie mimo tak wyraźnej zachęty do szczerości, rozmowa prowadzi jej uczestników na manowce. Każdy z nich myśli na swój sposób i nie podejrzewa nawet, że ten drugi może rozumować inaczej. Tak to jest, gdy ludzie są skupieni bardziej na sobie. W końcu jednak uświadamiają sobie, o czym tak naprawdę jest ta rozmowa i kandydat na kredytobiorcę słyszy słowa:

„Trzeba było od razu gadać, a wy tam coś kręcicie.”

Pod tym względem do dziś nic się nie zmieniło. W przypadku nieporozumienia zawsze winnym będzie ten, który przyszedł po pieniądze. Dotyczy to też czasu straconego na jałową rozmowę.

Ale nauka z tego zdania jest bardzo czytelna: trzeba wciągnąć powietrze do płuc i wyraźnie powiedzieć, po co się przyszło. Nie wiedzieć czemu bohater filmu miał z tym problem i ledwie wydukał:

„No ale tak konkretnie, mógłbyś mi coś pożyczyć?”

Oj nie tak panowie nie tak! W zasadzie jest to pytanie o rzecz najważniejszą. Ale w jaki sposób zadane? Co niby znaczy „coś pożyczyć?” Tak po prawdzie to nic. Jeśli nie zadamy konkretnego pytania to nie spodziewajmy się twardej odpowiedzi. I to właśnie spotkało naszego bohatera: w odpowiedzi na niejasne pytanie otrzymał odpowiedź w postaci refleksji ogólnej:

„Mówią, że ja jestem bogaty. No niby jestem. Ale tak faktycznie to ja pieniędzy nie mam….”

We współczesnych bankach ta formułka brzmi mniej więcej tak: „ostateczną decyzję o udzieleniu kredytu i warunkach, na jakich to nastąpi, podejmuje komitet kredytowy”. Specjalista od komunikacji powie, że to technika odwartościowania siebie stosowana na wypadek potencjalnej konieczności przekazania negatywnej decyzji w przyszłości. Taka prawda.

Robi się smutno, ale na szczęście szwagier też człowiek. I współczesny bankowiec również może się nim okazać. Jeden i drugi mogą bowiem wziąć ciężar rozmowy na siebie. I niekiedy biorą. Na przykład tak, jak w filmie:

„- A ile chcesz?

- No ze dwadzieścia.

- Czego?

- No dwadzieścia. Tych… tysięcy.

- Czego dwadzieścia tysięcy?

- Złotych.”

Tu znowu ważna informacja dla młodszych czytelników. W owych czasach różnica pomiędzy wartością 20.000 złotych a 20.000 dolarów była czymś więcej niż obecnie. Dziś wystarczy przemnożyć dolary przez mniej więcej 3,4 i mamy złotówki. Wówczas to była różnica pomiędzy kwotą którą mieściła się w kieszeni (złotówki) a niewyobrażalnym majątkiem, który stawiał Cię w elicie finansowej kraju (dolary). Takie to były czasy…

Popatrzcie jednak, jaką determinację wykazał Szwagier. Ze spokojem zadawał kolejne pytania, aby dojść wreszcie do wiedzy, że inżynier Karwowski chce od niego pożyczyć 20.000 złotych. Główna nauka z tego filmu jest taka, że nie każdy pracownik banku jest tak wytrawnym poszukiwaczem faktów. Na wszelki wypadek lepiej jest mu więc kwotę i walutę kredytu podać na wstępie. Ustnie i pisemnie.

„Dwadzieścia tysięcy złotych to ja mam przy sobie”.

Na to akurat bym nie liczył. W tym aspekcie świat zmienił się na gorsze i mało który pracownik banku ma przy sobie 20.000. I zechce je tak od razu pożyczyć.

„Mówią, ze postęp nas bogaci co wiek

- Bardzo mi to jest miło i przyjemnie -

Niestety! co dnia mniej cieszę się ze mnie..."

A to już prawdziwa perełka. Szwagier cytuje Norwida. I prawdę mówiąc wiem, że istnieją bankowcy, z którymi można porozmawiać zarówno konkretnie o kredytach jak i o poezji.

Wszystkim życzę, aby trafiali tylko na takich.

Dobrej wiosny !

czytaj dalej

070. Który bank w Posce udziela największych kredytów hipotecznych?

Jaka jest moja zdolność kredytowa? Ile dostanę kredytu? Te pytania są się istotne dla każdego, kto zaczyna myśleć o zaciągnięciu kredytu. Zwłaszcza dużego. Czyli hipotecznego w przypadku osoby fizycznej (zwykłego człowieka, a nie przedsiębiorstwa). Bo dopiero wówczas faktycznie możemy dotknąć ograniczenia, jakim jest maksymalna dostępna kwota kredytu.

Zajmowałem się tym zagadnieniem w maju ubiegłego roku (posty 026 i 027), ale z punktu widzenia osoby zaciągającej kredyt. Uważam bowiem, że każdy powinien umieć obliczyć, na jaki kredyt go stać. Czyli określić, jaką maksymalną ratę kapitałowo-odsetkową jest w stanie płacić bankowi co miesiąc. Na blogu pojawił się wówczas – słuszny skąd inąd - komentarz, że zdolność kredytową nie tak naprawdę ustalają banki. To prawda w tym sensie, że jeśli bank oceni moją zdolność kredytową niżej niż ja sam, to oczywiście udzieli mi kredytu, na który mnie stać według banku a nie według mnie. Przyjrzyjmy się zatem spojrzeniu banków na zdolność kredytową.

Banki różnią się w ocenie zdolności kredytowej.

I to dość znacznie. Dowodzą tego badania prowadzone od czasu do czasu przez dziennikarzy ekonomicznych, którzy robią rundę po bankach z tym samym wnioskiem kredytowym. Poszczególne banki analizują taki przypadek, określają wysokość maksymalnego dostępnego kredytu i dziennikarze mają ciekawy temat na artykuł. Zakładając, że jest to przeprowadzone rzetelnie, to mamy dobre źródło informacji o apetycie na ryzyko polskich banków.

Przyjrzyjmy się dwóm takim badaniom: pierwszemu przeprowadzonemu w październiku 2017 roku przez białostocką Gazetę Wyborczą (artykuł GW) i drugiemu z lutego 2018, której wyniki opublikowano na portalu bankier.pl (artykuł bankier). W obu przypadkach bohaterami symulacji była trzyosobowa rodzina z dochodem miesięcznym 5,6 – 5,8 tys. o pozytywnej historii kredytowej i nieposiadająca obecnie żadnych innych zobowiązań finansowych, która chce zaciągnąć trzydziestoletni kredyt hipoteczny (mieszkanie lub dom) z 20% wkładem własnym (tajemniczy skrót LTV czyli loan to vaue oznacza maksymalny stosunek wartości kredytu do wartości kupowanej nieruchomości). Przyznacie zatem, że sytuacja jest dość realna…

Badania przeprowadzone przez dwa różne ośrodki, w czteromiesięcznym odstępie czasowym dały praktycznie takie same wyniki. Maksymalna kwota dostępnego kredytu wynosi nieco ponad 500 tys. W obu badaniach te same banki prezentują podobny poziom odwagi kredytowej. W szczególności ten sam bank jest skłonny udzielić największej kwoty. Ale uderzająca jest różnica pomiędzy ofertami najwyższymi (ponad 500 tys.) i najmniejszymi (poniżej 400 tys.).

Który bank jest najlepszy?

To zależy od tego, co jest ważne dla kredytobiorcy. Jeśli wysokość kredytu, to sprawa jest oczywista. Konkretnie: jeśli jestem zdecydowany kupić dom za 650 tys. złotych, mam 130 tys. złotych wkładu własnego (dokładnie 20%), to potrzebuję kredytu w wysokości 520 tys. złotych i z zestawienia wynika, że istnieje dokładnie jeden bank, z którym mogę o tym rozmawiać.

Im niższego kredytu szukam, tym więcej banków mogę brać pod uwagę. A wówczas przy podejmowaniu decyzji powinienem uwzględniać kolejne czynniki. Przede wszystkim oprocentowanie, które decyduje o wysokości miesięcznej raty, ale także inne wymagania banku: ubezpieczenie, warunki prowadzenia rachunku bankowego, itp. I dopiero wtedy mogę podjąć decyzję, do którego banku się zwrócić.

Na jaki kredyt mnie stać?

Ale najważniejsze jest, żeby zaciągnąć kredyt, na spłatę którego będzie nas stać. To nie kwota dochodu decyduje o tym, ile możemy przeznaczyć na spłatę kredytu, lecz to, co pozostaje w dyspozycji, po poniesieniu wszystkich wydatków, do których jesteśmy przyzwyczajeni i z których nie będziemy w stanie zrezygnować.

Ludzie różnią się i wielkością dochodów i sposobem wydawania pieniędzy. Zauważcie, że analizując wniosek kredytowy bank ma precyzyjną informację o naszych dochodach, ale o wydatkach już nie. To my sami wiemy, jak jest w naszym przypadku. Ile wydajemy. Na co. I jaką mamy możliwość ruchu w tym zakresie.

Zmierzam do tego, że nawet jeśli bank jest gotów udzielić nam kredytu, to my odpowiadamy za konsekwencje decyzji o jego zaciągnięciu.

Ile wydaje trzyosobowa rodzina?

To oczywiście zależy od mnóstwa czynników: między innymi miejsca zamieszania (duże miasto czy wieś), wieku dziecka, wsparcia ze strony dalszej rodziny, a nawet zwyczajów i zainteresowań członków naszej rodziny.

W badaniu ofert banków prowadzonym w październiku 2017 przez Gazetę Wyborczą przyjęto, że rodzina zamieszkująca miasto mające 300 tys. mieszkańców wydaje miesięcznie 1,5 tys. zł. Półtora tysiąca złotych!!!! Jeśli to prawda, to tej rodzinie pozostaje do dyspozycji 4 tys. zł miesięcznie, i stać ją nawet na spłacanie kredytu o wysokości 750 tys. zł. Jeśli faktycznie wydaje 1,5 tys. miesięcznie, to każdy kredyt z zestawienia jest w jej zasięgu. Tylko, czy to prawda?

Autor bloga biednyojciec.pl podaje, że średnie miesięczne wydatki jego rodziny w roku 2013 (z kontekstu wynika, że chodzi o rodzinę trzyosobową) wyniosły 4.448 zł. (czytaj tutaj). Gdyby przyjąć ten poziom miesięcznych wydatków, to rodzina z dochodem 5,6-5,8 tys. miesięcznie może przeznaczyć na spłatę kredytu ok. 1,3 tys. zł, więc maksymalny pułap trzydziestoletniego kredytu wynosi w przybliżeniu 250 tys. zł.

Wydatki polskich rodzin są też badane przez GUS. W opracowaniu „Sytuacja gospodarstw domowych w 2016 roku w świetle wyników badania budżetów gospodarstw domowych” (link) możemy przeczytać, że w przeliczeniu na jedną osobę przeciętne wydatki gospodarstwa domowego z jednym dzieckiem wynoszą 1.285 zł (strona 17). Zatem rodzinie o dochodzie 5,7 tys. pozostaje miesięcznie w dyspozycji ok. 1.850 złotych, czyli jest w stanie spłacać kredyt zaciągnięty w kwocie nieco poniżej 350 tys.

Nawiasem mówiąc ten sam raport GUS mówi, że przeciętne wydatki polskiego gospodarstwa domowego (wszystkie gospodarstwa, bez względu na liczbę osób je tworzących) wynoszą 1.132 zł. miesięcznie na osobę (strona 1), przy czym jeśli rodzina mieszka na wsi to są one niższe i wynoszą 930 zł. ale z kolei w mieście liczącym ponad 500 tys. mieszkańców rosną do wartości 1.588 zł. (strona 12). Wydatki rodziny zamieszkującej miasto 300 tys. mieszkańców wg. GUS to 1.306 zł. miesięcznie na osobę (czyli w sumie 3.918 zł.), co ma się nijak do przyjętego przez dziennikarzy Gazety Wyborczej poziomu 1.500 zł. Ha!

Czy banki są naiwne?

W świetle powyższych faktów można dojść do wniosku, że banki umożliwiają zaciągnięcie zbyt dużych kwot kredytów. Czy są w tym naiwne? Niekoniecznie. Kredyty hipoteczne są spłacane z największą dyscypliną. W Polsce wciąż cieszymy się silnymi związkami rodzinnymi, zdarza się więc, że w spłacie kredytu  dorosłych dzieci pomagają rodzice, mimo braku formalnego zapisu np. o przystąpieniu do długu. I wreszcie, aby zaciągnąć kredyt trzeba zgromadzić co najmniej 20% wkładu własnego i to też jest istotnym kryterium ograniczającym kwoty zaciąganych kredytów.

Niebezpieczeństwa maksymalnego kredytu.

Pamiętajmy, że zaciągnięcie kredytu w maksymalnej dostępnej dla nas kwocie, będzie miało konsekwencje. Przez cały okres finansowania. Trudno zakładać, że przez trzydzieści lat nie pojedziemy na wakacje, nie zachorujemy, nie będziemy mieli przerwy w zatrudnieniu, albo że nie wzrosną stopy procentowe. A każda z tych okoliczności może być zagrożeniem dla spłaty kolejnych rat. Dlatego bądźmy ostrożni. To naprawdę nasza decyzja, po który kredyt sięgniemy. I nasza odpowiedzialność.

czytaj dalej

069. Ekonomia na przedwojennej maturze: Rozwiązanie zadania z roku 1924.

Ogłoszony przeze mnie konkurs zakończył się klapą. Nie wpłynęło ani jedno rozwiązanie. Może zadania były za trudne. Może konkurs był słabo promowany. Albo nagrody za słabe. A może zwyciężyła obawa, że moim celem było wyciągnięcie danych osobowych. Nie wiem. Trudno. Czas pokazać rozwiązania. Dziś zadanie pierwsze.

Przy okazji: wydłużam termin konkursu. Jeśli ktoś przyśle mi rozwiązanie któregokolwiek z kolejnych zadań z przedwojennych matur (zadania 2-5; ich treść znajduje się w poście 063), to weźmie udział w losowaniu nagrody, czyli książki o tematyce ekonomicznej, znajdującej się w mojej bibliotece. Mam ich wiele. Nawet wspólnie z laureatem ustalimy, co go najbardziej interesuje.

Zadanie 1. (Matura 1924)

Złożono do banku 45000 zł na 4 ½ %. Jaką sumę można podnosić z banku corocznie w ciągu 12 lat zanim kapitał nie wyczerpie się ?

Źródło: „Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu za 1-sze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie (1919-1929)".

Komentarz do zadania.

Sytuacja przedstawiona w zadaniu jest dość przyjemna. Mamy w banku 45 tys. złotych ulokowane na 4,5%. Należy rozumieć, że w skali roku. Na koniec każdego roku naliczą się nam zatem odsetki i w tym samym momencie będziemy wypłacać pewną kwotę. Co roku tę samą w takiej wysokości, aby pieniędzy nam starczyło na dwanaście lat. Czyli innymi słowy: po dokonaniu dwunastej wypłaty mamy osiągnąć saldo zerowe. Pytanie brzmi: ile można wypłacać, aby pieniędzy starczyło na dwanaście lat.

Czy to sytuacja abstrakcyjna? Nie sądzę. Można to zadanie uwspółcześnić na przykład tak: rozpoczynając pięcioletnie studia otrzymujesz 45 tys. złotych, które wpłacasz do banku na 4,5% w skali roku. Ile możesz co roku wypłacać, żeby pieniędzy starczyło na cały okres studiów? Można je nawet jeszcze bardziej urealnić (tym samym skomplikować) pytając o wypłaty miesięczne. Zadanie jest prawie bliźniacze, a sytuacja jak najbardziej życiowa. No może za wyjątkiem stopy procentowej.

Jak to zadanie rozwiąże matematyk?

Matematyk zauważy przede wszystkim, że w tym zadaniu można dopatrzeć się dwóch ciągów geometrycznych. To chyba największa trudność rozwiązania, bo to nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, za to radykalnie ułatwia rozwiązanie zadania.

Po pierwsze wyobraźmy sobie, że z rachunku nie wypłacamy ani grosza. W ten sposób nasz kapitał będzie powiększany o odsetki naliczane raz w roku. Policzenie, ile zgromadzimy na koniec dwunastego roku jest bajecznie proste. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany, o którym zresztą pisałem w poście 049:

i wychodzi nam, że uzbieramy 76.314,66 zł.

Oczywiście w warunkach naszego zadania takiej kwoty nie uzbieramy nigdy, bo co roku będziemy dokonywać wypłaty tej samej kwoty K. Każda z wypłat pomniejszy zgromadzony kapitał a także odsetki od niego naliczane w następnych okresach. Ile w sumie będzie tych pomniejszeń?

Na koniec pierwszego roku wypłacimy kwotę K, od której - gdyby została w banku - bank naliczyłby nam odsetki jeszcze jedenaście razy. Rok później wypłacimy tę samą kwotę, którą - gdyby ją zostawić - podlegałaby oprocentowaniu jeszcze dziesięć razy. I tak dalej. Aż do ostatniej wypłaty, dokonanej na koniec dwunastego roku, po której saldo rachunku w banku osiągnie poziom zera. Z tym, że ta ostatnia wypłata pomniejszy nasze potencjalne korzyści jedynie o swoją wartość nominalną, gdyż to już koniec naszego okresu inwestowania i kolejnych odsetek już nie będzie.

Jeżeli na wpłaty spojrzymy od końca to z punktu widzenia matematyki mamy do czynienia z sumą dwunastu elementów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym K i ilorazie 1,045 (wynikającym z naliczenia oprocentowania 4,5%). Matematyk widzi tę sumę następująco:

I potrafi ją szybko obliczyć, bo na to matematyka podstawia gotowy wzór (na sumę n=12 pierwszych elementów ciągu geometrycznego), który w tym przypadku wygląda tak:

Teraz należy jedynie zauważyć, że te pomniejszenia naszej inwestycji (to, czego nie zarobimy, jeśli będziemy co roku wypłacać kwotę K) sumują się do wartości, którą byśmy zebrali, gdybyśmy wypłat nie dokonywali. To może być niełatwy moment dla niektórych rozwiązujących zadanie. Pomocą w zrozumieniu niech będzie pomysł, że to, co wypłacimy z rachunku bankowego wpłacimy na inny rachunek oprocentowany tak samo. Wówczas na pierwszym rachunku środków będzie coraz mniej, a na drugim coraz więcej. Mamy więc do czynienia niejako z dwiema inwestycjami o odwróconej kolejności sald ale tym samym wyniku odsetkowym.

Mamy więc do rozwiązania równanie: 

które żadnemu maturzyście kłopotów nie powinno sprawić, bo ma tylko jedną niewiadomą, a jego rozwiązaniem jest: K=4.934,98. Uwaga: zaokrąglenie; niewykluczone, że przedwojenne komisje egzaminacyjne uznawały wynik podany w formie ułamkowej.

A jak miłośnik Excela?

Dziewięćdziesiąt trzy lata jakie upłynęły od matury z analizowanym zadaniem przyniosły nam szereg nowoczesnych narzędzi obliczeniowych, w tym Excela dla którego to zadanie jest wręcz idealne. Historię zawartą w treści zadania możemy bowiem z łatwością zapisać w jego komórkach w następujący sposób:

Saldo na początku pierwszego roku to 45 tys. (komórka B4). Na koniec roku naliczamy odsetki (w kolumnie C: 4,5% od wartości z kolumny B) oraz dokonujemy wypłaty o stałej wartości, póki co nieznanej, wskazanej w komórce C1. Saldo końca roku (kolumna E) uwzględnia obie te operacje i jest przenoszone do następnego wiersza do kolumny B.

Rozumowanie to jest następnie powtarzane w kolejnych latach, aż do roku 12 (UWAGA: ukryłem wiersze z latami 3-11).

Taka struktura arkusza umożliwia nam skorzystanie z narzędzia "szukaj wyniku", które w Excelu z roku 2016 znajduje się w menu górnym Dane \ Analiza warunkowa \ Szukaj wyniku. Po wybraniu tej ścieżki otrzymujemy następujący formularz:

Zadanie, które w tym momencie zlecimy Excelowi, polega na znalezieniu takiej wartości komórki C1 (corocznej wypłaty z rachunku), aby wartość komórki E15 (saldo rachunku na koniec dwunastego roku) osiągnęło wartość 0. Czyli dokładnie to, o co chodzi w rozwiązywanym zadaniu maturalnym. Wciskamy [OK], Excel zaczyna działać i po chwili naszym oczom ukazuje się rozwiązanie:

Jak widać wynik wyszedł ten sam, co w metodzie matematycznej.

Która metoda jest lepsza? Maturzysta z roku 1924 nie miał wyjścia. Musiał rozwiązywać jak matematyk. Możliwe, że korzystał z tablic matematycznych, ale musiał pogłówkować a potem trochę się naobliczać. A kalkulatorów nie było...

Nie będę ukrywał, że zadanie to rozwiązałem najpierw korzystając z Excela. Wybaczcie moi profesorowie matematyki! Nie dawało mi jednak spokoju, że dwa pokolenia temu do rozwiązania tego zadania wystarczyło pióro i kartka papieru. I oto efekt. 

Myślę, że każdy, kto przeszedł taką drogę zasłużył na znaczek:

Zostało jeszcze kilka zadań do rozwiązania!

czytaj dalej