094. Matura 1886 w zaborze austriackim. Zadanie z procentu składanego.

Posted by Mariusz Wdowiak on środa, sierpnia 29, 2018 with 2 comments
Jedno z najstarszych „ekonomicznych” zadań maturalnych, jakie znalazłem pochodzi z roku 1886, czyli sprzed 132 lat. Polska była wówczas pod zaborami, ale w zaborze austriackim matury odbywały się w języku polskim i można o nich poczytać w sprawozdaniach dyrekcji poszczególnych szkół.

We wrześniu 1886 roku na egzaminie maturalnym z matematyki przeprowadzonym w cesarsko-królewskim IV Gminazjum we Lwowie (możliwe, że była to matura o charakterze poprawkowym) znalazło się zadanie poświęcone procentowi składanemu. Treść zadania, którą znalazłem w „Sprawozdaniu Dyrektora C.K. Gimnazyum we Lwowie za rok szkolny 1887” (pisownia oryginalna), liczyła ledwie dwanaście słów i mieściła się w jednym zdaniu, które brzmiało: Po ilu latach podwoi się jakikolwiek kapitał dany na 5% składany?
Postarajmy się je rozwiązać.

Analiza treści zadania.

Zadanie dotyczy właściwości procentu składanego i jako takie ma bardzo uniwersalny charakter. Świadczy o tym sformułowanie „jakikolwiek kapitał”. Bo wysokość kapitału pierwotnego oczywiście nie ma wpływu na okres, w którym stan oszczędności zwiększy się o określoną ilość razy.

Obraz wyłaniający się z zadania jest następujący: pieniądze lokujemy na stały procent, który wynosi 5%. Raczej bezdyskusyjnie należy przyjąć, że chodzi o oprocentowanie liczone w skali roku. Naliczone odsetki będą kapitalizowane na rachunku lokaty. Pytanie brzmi: kiedy wartość lokaty osiągnie dwukrotność kwoty bazowej.

Rozwiązanie absolutnie matematyczne.

Problem postawiony w treści zadania można wyrazić następującym równaniem:
gdzie K- kwota kapitału, r- oprocentowanie, n-okres lokowania środków liczony w latach.
W przypadku naszego zadania należy rozwiązać następujące równanie:
gdzie niewiadomą jest n – liczba lat. Równanie błyskawicznie przekształcamy do postaci:
i już widzimy, że odpowiedzią jest:
I wszystko jasne. Ale tylko dla matematyka, bo każdy inny człowiek zapyta „czyli ile to wynosi?”.

Odpowiedź zrozumiała dla wszystkich.

Odpowiedź, którą każdy zrozumie, i która prawdopodobnie byłaby zgodna z oczekiwaniami cesarsko-królewskiej komisyji egzaminacyjnej, wymaga podania liczby lat.

Mając dostęp do Excela, możemy skorzystać z funkcji log(liczba;podstawa) i w ułamku sekundy przekonać, się, że 
czyli mówiąc praktycznie: przy oprocentowaniu 5% na podwojenie kapitału trzeba czekać 15 lat (dokładnie dwukrotność zostanie osiągnięta po 14,2067 latach, czyli 14 latach, 2 miesiącach i 15 dniach, ale bank i tak naliczać będzie odsetki w rocznicach założenia lokaty, więc trzeba czekać do końca 15 roku).

Jak sobie radzili C.K. maturzyści z roku 1886?

Excela nie mieli. Za to mieli tablice matematyczne, z których mogli odczytać między innymi przyrost kapitału lokowanego w oparciu o procent składany. Dziś o tablicach matematycznych mało kto pamięta. Coraz trudniej jest je znaleźć w bibliotekach i na strychach. Ale nie ma co płakać, bo mając Excela można je sobie w kilkanaście sekund sporządzić. Proszę bardzo:


Maturzysta z roku 1886 patrząc na dane z tablicy bez trudu odczyta, że jeśli ulokujemy kapitał na 5% po 15 latach osiągnie on wartość 2,0789 kwoty bazowej i udziela poprawnej odpowiedzi.

Jeśli miałby ochotę popatrzeć dłużej na dane z tablic to odkryje, że gdyby oprocentowanie wynosiło 6%, to na podwojenie wartości początkowego kapitału będziemy potrzebować jedynie 12 lat. Jeżeli natomiast oprocentowanie byłoby mniejsze to okres podwajania kapitału będzie dłuższy i wyniesie 18 lat (dla 4%), 24 lata (dla 3%) a w przypadku oprocentowania 1% i 2 % odpowiedź znajduje się na następnych stronach tablic... 

Gdyby się okazało, że korzystanie z tablic jest zabronione, pozostaje liczenie na piechotę. Można sobie pomóc i ograniczyć liczbę operacji. Konkretnie: wiadomo, że po pierwszym roku kapitał wyniesie 1,05.Po dwóch latach będzie to iloczyn 1,05*1,05, czyli 1,1025. Jeżeli ten wynik podniesiemy do kwadratu uzyskamy wynik dla czwartego roku. Dwie kolejne takie same operacje (podniesienie uzyskanego wyniku do kwadratu) zaprowadzą nas do wartości przypisanej dla okresu 16 lat. Będzie większa niż 2 i trzeba się będzie cofnąć w obliczeniach. Dwa kroki w tył i znajdziemy odpowiedź na zadanie. 
To wszystko jest jednak mocno rozczarowujące. Dokładnie jak poziom tego zadania… 

Inne zadania z tamtych czasów są mocniejsze merytorycznie. Nie ma więc co mówić o C.K. zadaniach dla C.K. maturzystów! Jeszcze się o tym przekonacie...