094. Matura 1886 w zaborze austriackim. Zadanie z procentu składanego.

Jedno z najstarszych „ekonomicznych” zadań maturalnych, jakie znalazłem pochodzi z roku 1886, czyli sprzed 132 lat. Polska była wówczas pod zaborami, ale w zaborze austriackim matury odbywały się w języku polskim i można o nich poczytać w sprawozdaniach dyrekcji poszczególnych szkół.

We wrześniu 1886 roku na egzaminie maturalnym z matematyki przeprowadzonym w cesarsko-królewskim IV Gminazjum we Lwowie (możliwe, że była to matura o charakterze poprawkowym) znalazło się zadanie poświęcone procentowi składanemu. Treść zadania, którą znalazłem w „Sprawozdaniu Dyrektora C.K. Gimnazyum we Lwowie za rok szkolny 1887” (pisownia oryginalna), liczyła ledwie dwanaście słów i mieściła się w jednym zdaniu, które brzmiało: Po ilu latach podwoi się jakikolwiek kapitał dany na 5% składany?

Postarajmy się je rozwiązać.

Analiza treści zadania.

Zadanie dotyczy właściwości procentu składanego i jako takie ma bardzo uniwersalny charakter. Świadczy o tym sformułowanie „jakikolwiek kapitał”. Bo wysokość kapitału pierwotnego oczywiście nie ma wpływu na okres, w którym stan oszczędności zwiększy się o określoną ilość razy.

Obraz wyłaniający się z zadania jest następujący: pieniądze lokujemy na stały procent, który wynosi 5%. Raczej bezdyskusyjnie należy przyjąć, że chodzi o oprocentowanie liczone w skali roku. Naliczone odsetki będą kapitalizowane na rachunku lokaty. Pytanie brzmi: kiedy wartość lokaty osiągnie dwukrotność kwoty bazowej.

Rozwiązanie absolutnie matematyczne.

Problem postawiony w treści zadania można wyrazić następującym równaniem:

gdzie K- kwota kapitału, r- oprocentowanie, n-okres lokowania środków liczony w latach.

W przypadku naszego zadania należy rozwiązać następujące równanie:

gdzie niewiadomą jest n – liczba lat. Równanie błyskawicznie przekształcamy do postaci:

i już widzimy, że odpowiedzią jest:

I wszystko jasne. Ale tylko dla matematyka, bo każdy inny człowiek zapyta „czyli ile to wynosi?”.

Odpowiedź zrozumiała dla wszystkich.

Odpowiedź, którą każdy zrozumie, i która prawdopodobnie byłaby zgodna z oczekiwaniami cesarsko-królewskiej komisyji egzaminacyjnej, wymaga podania liczby lat.

Mając dostęp do Excela, możemy skorzystać z funkcji log(liczba;podstawa) i w ułamku sekundy przekonać, się, że 

czyli mówiąc praktycznie: przy oprocentowaniu 5% na podwojenie kapitału trzeba czekać 15 lat (dokładnie dwukrotność zostanie osiągnięta po 14,2067 latach, czyli 14 latach, 2 miesiącach i 15 dniach, ale bank i tak naliczać będzie odsetki w rocznicach założenia lokaty, więc trzeba czekać do końca 15 roku).

Jak sobie radzili C.K. maturzyści z roku 1886?

Excela nie mieli. Za to mieli tablice matematyczne, z których mogli odczytać między innymi przyrost kapitału lokowanego w oparciu o procent składany. Dziś o tablicach matematycznych mało kto pamięta. Coraz trudniej jest je znaleźć w bibliotekach i na strychach. Ale nie ma co płakać, bo mając Excela można je sobie w kilkanaście sekund sporządzić. Proszę bardzo:

Maturzysta z roku 1886 patrząc na dane z tablicy bez trudu odczyta, że jeśli ulokujemy kapitał na 5% po 15 latach osiągnie on wartość 2,0789 kwoty bazowej i udziela poprawnej odpowiedzi.

Jeśli miałby ochotę popatrzeć dłużej na dane z tablic to odkryje, że gdyby oprocentowanie wynosiło 6%, to na podwojenie wartości początkowego kapitału będziemy potrzebować jedynie 12 lat. Jeżeli natomiast oprocentowanie byłoby mniejsze to okres podwajania kapitału będzie dłuższy i wyniesie 18 lat (dla 4%), 24 lata (dla 3%) a w przypadku oprocentowania 1% i 2 % odpowiedź znajduje się na następnych stronach tablic... 

Gdyby się okazało, że korzystanie z tablic jest zabronione, pozostaje liczenie na piechotę. Można sobie pomóc i ograniczyć liczbę operacji. Konkretnie: wiadomo, że po pierwszym roku kapitał wyniesie 1,05.Po dwóch latach będzie to iloczyn 1,05*1,05, czyli 1,1025. Jeżeli ten wynik podniesiemy do kwadratu uzyskamy wynik dla czwartego roku. Dwie kolejne takie same operacje (podniesienie uzyskanego wyniku do kwadratu) zaprowadzą nas do wartości przypisanej dla okresu 16 lat. Będzie większa niż 2 i trzeba się będzie cofnąć w obliczeniach. Dwa kroki w tył i znajdziemy odpowiedź na zadanie. 

To wszystko jest jednak mocno rozczarowujące. Dokładnie jak poziom tego zadania… 

Inne zadania z tamtych czasów są mocniejsze merytorycznie. Nie ma więc co mówić o C.K. zadaniach dla C.K. maturzystów! Jeszcze się o tym przekonacie...

czytaj dalej

093. Którędy płynie pieniądz, czyli rachunek przepływów pieniężnych.

Płynność jest naprawdę najważniejsza. Tak dla zwykłego Kowalskiego, który doświadcza jej przy sklepowej kasie podczas robienia zakupów, jak i wielkiej firmy, której księgowi mają plik faktur do zapłaty. W obu przypadkach chodzi o to samo: czy są pieniądze, aby dokonać zapłaty.

Moim zdaniem najpełniejszym sposobem obserwacji płynności firm jest analiza przepływów pieniężnych. Brzmi strasznie, wiem. Ale najzabawniejsze jest to, że każdy zwykły człowiek dla własnych celów posługuje się rachunkiem przepływów pieniężnych. Więc, gdyby opowiadać uczniom podstawówki o sprawozdaniach finansowych to prawdopodobnie rozmowa o cash flow byłaby najprostsza.

Skąd firma ma pieniądze?

Pytanie wydaje się naiwne. Firmy produkują, sprzedają, a gdy otrzymują zapłatę na rachunku bankowym pojawiają się pieniądze. To prawda. Nawiasem mówiąc w tym prostym zdaniu zawiera się cały wykład o kapitale obrotowym: wyrób gotowy (albo materiał) podlega sprzedaży i staje się należnością, a płynność pojawi się dopiero po zapłacie, czyli zamianie należności na środki pieniężne.

Ten sposób generowania pieniądza rachunek przepływów pieniężnych nazywa działalnością operacyjną. Czym ona jest? Podstawowym obszarem funkcjonowania firmy. Dlatego bardzo ważnym pytaniem jest, czy działalność operacyjna przynosi firmie pieniądze. Bo może ich nie generować.

Działalność operacyjna nie jest jedynym sposobem pozyskania pieniądza przez przedsiębiorstwo. Pieniądze mogą pojawić się na rachunku bankowym w wyniku udzielenia firmie kredytu. Albo podniesienia kapitału przez właścicieli. To nosi nazwę działalności finansowej.

Jest jeszcze trzecie źródło gotówki. Otóż firma może sprzedać jakiś element swojego majątku. Firma produkująca kosmetyki może być właścicielem samochodu ciężarowego. Jeśli taki samochód sprzeda, to otrzymane pieniądze nie będą elementem działalności operacyjnej. Działalnością operacyjną będzie sprzedawanie kosmetyków. Operacje związane z majątkiem trwałym w rachunku przepływów pieniężnych są zaliczane do działalności inwestycyjnej.

A skąd się biorą Twoje pieniądze?

Przychody zwykłego człowieka także można podzielić na sferę operacyjną, finansową i inwestycyjną. To ćwiczenia uzmysławia, że przepływ pieniądza w domu i w firmie to ten sam proces.

Podstawowym źródłem gotówki prawie każdego człowieka jest wynagrodzenie za pracę. To nic innego, jak działalność operacyjna. Ale na rachunku mogą pojawić się też pieniądze pochodzące z kredytu, pożyczki od rodziny albo darowizny. To sfera finansowa.

Teoretycznie Kowalski może też sprzedać samochód, dom, działkę budowlaną. Źródłem tych pieniędzy będzie wówczas działalność inwestycyjna.

Dlaczego ten podział jest ważny? Bo działalność operacyjna jest powtarzalna. Kowalski dostaje co miesiąc pensję, a firma każdego dnia produkuje i sprzedaje swoje wybory. Dla odmiany nie da się w nieskończoność zaciągać kredytów ani cały czas wyprzedawać majątku. Kiedyś skończy się zdolność kredytowa albo sprzedany zostanie ostatni wartościowy przedmiot, którego jesteśmy właścicielem.

I dlatego przepływy z działalności operacyjnej są tak ważne.

Brak cashu operacyjnego.

Firmom to się zdarza. I to świadczy o ich słabej płynności.

Wyobraźmy sobie: produkujemy, sprzedajemy, a pieniędzy wciąż za mało. To może wynikać z tego, że działalność firmy jest zbyt droga, że produkuje na magazyn, albo że odbiorcy nie płacą. Powodem kłopotów z płynnością na poziomie operacyjnym może też być brak chęci dostawców do udzielenia kredytu kupieckiego.

Przyczyną braku cashu operacyjnego bardzo często jest szybki wzrost firmy. To jak u młodego człowieka: jeśli rośnie za szybko (10 cm na miesiąc), to czegoś tam w jego organizmie może zabraknąć i pojawią się kłopoty zdrowotne.

Wyobraźmy sobie firmę, która stale osiąga 10% zysku. Naprawdę niezła rentowność. Żeby prowadzić działalność ta firma musi utrzymywać zapasy na poziomie miesięcznej sprzedaży, sytuacja na rynku wymusza sprzedaż z 90 dniowym terminem zapłaty, a swoim dostawcom płaci po 60 dniach. Jeśli te wielkości pozostaną stałe, to luka finansowa (zapasy + należności – zobowiązania) będzie więc zawsze równa dwumiesięcznej sprzedaży. Zobaczmy, jakie to będą wartości w przypadku różnych poziomów miesięcznej sprzedaży.

I teraz: gwałtowny wzrost sprzedaży ze 100 tys. do 800 tys. miesięcznie da firmie 70 tys. dodatkowego zysku. Ale jednocześnie luka finansowa zwiększy się o 1,4 mln. Płynności nie będzie i to w sytuacji ogromnego sukcesu rynkowego, obrazem czego będzie ogromny ujemny cash flow operacyjny.

Nie tylko działalność operacyjna.

Działalność finansowa i inwestycyjna to nie tylko wpływy. Zaciągnięte kredyty trzeba spłacać. Właściciele niekiedy oczekują wypłaty z zysków. To wypływy o charakterze finansowym.

Z prowadzenie firmy wymaga inwestowania w maszyny, środki transportu, biura. I to są wydatki inwestycyjne.

Skąd i dokąd płynie cash?

To pytania, na które odpowiada rachunek przepływów pieniężnych.

Po pierwsze pozwala stwierdzić, czy działalność operacyjna generuje pieniądz.

Następnie, co się z tym pieniądzem dzieje? Czy idzie na inwestycje, czy na spłaty kredytów. A może na wypłaty dla właściciela.

A jeśli operacyjny cash flow jest ujemny, to skąd firma bierze pieniądze? Od właścicieli, banków, czy może wyprzedaje majątek.

I sami widzicie, jak porządkuje to myślenie o standingu firmy.

To wszystko wynika wprost ze sprawozdania z przepływu środków pieniężnych, które jest zdecydowanie mniej znane niż bilans i rachunek wyników, a moim zdaniem pozwala najwięcej dowiedzieć się o firmie. To moje ulubione sprawozdanie i wszystkim je polecam.

czytaj dalej

092. Płynność w praktyce, czyli gdzie są moje pieniądze?

Paweł jest właścicielem typowej hurtowni budowlanej – takiej małej Castoramy działającej w miejscowości mającej kilka tysięcy mieszkańców, w której funkcjonują też dwie inne, podobne hurtownie. Jego klientami są ludzie, którzy coś tam dłubią przy domu i potrzebują kupić farbę, trochę cementu albo przysłowiowy młotek, i którym nie opłaca się jechać po takie drobiazgi 30 km do najbliższego centrum handlowego. Ważną grupę odbiorców stanowią lokalni wykonawcy usług budowlanych – takie dwu-trzyosobowe ekipy zajmujące się remontami mieszkań, które w potrzebne towary zaopatrują się u Pawła, bo mają niewielki rabat i możliwość zakupu „na zeszyt” – płacą za niego po otrzymaniu zapłaty od właściciela remontowanego domu czy mieszkania. Zdarza się też, że kupują u niego regularne firmy budowlane realizujące kontrakty dla urzędu miejskiego czy działających w okolicy przedsiębiorstw, ale Pawłowi trudno się z nimi ustala warunki sprzedaży – te firmy wiedzą, że kupują duże ilości materiałów budowlanych, więc oczekują jeszcze większych rabatów i jeszcze dłuższych okresów płatności.

Wydaje się, że interes idzie dobrze. Księgowy co miesiąc informuje o zysku, ale czasem po prostu brakuje pieniędzy. Paweł zaciągnął na firmę niewielki kredyt obrotowy w banku, ale ulgę odczuł tylko przez kilka miesięcy. Zaczął się już nawet zastanawiać, gdzie tak naprawdę są jego pieniądze?

Kwestia płynności.

Jeżeli prowadzisz firmę, to prawdopodobnie znasz ten ból. Interes się kręci (są klienci, jest sprzedaż, towar znika, trzeba kupić nowy), księgowy mówi o zysku (trzeba nawet płacić podatki), a nadmiaru gotówki nie ma i pytanie o to, co się dzieje z pieniędzmi staje się natrętem towarzyszącym Ci każdego dnia. To pytanie o płynność w czystej postaci. Płynność, której realizowany zysk – choć jest bardzo ważny - samodzielnie nie zapewni.

Trzy filary płynności.

Firma generująca zysk ma pieniądze na papierze. To, czy zamienią się one w banknoty, monety i zapisy na koncie bankowym, zależy od kapitału obrotowego, czyli zapasów, należności i zobowiązań handlowych.

Zapasy.

Paweł prowadzi hurtownię budowlaną. Lokalnie ma dwóch konkurentów oferujących te same towary. W takich przypadkach bardzo ważna jest cena i dostępność towarów. Potencjalny klient jest w stanie odwiedzić wszystkie trzy hurtownie, sprawdzić dostępność szukanego artykułu i porównać cenę. To fatalna wiadomość dla Pawła: musi dbać o stany magazynowe i ma ograniczone możliwości odbicia sobie tego w cenie.

Im większa wartość towarów w magazynie, tym większe prawdopodobieństwo, że klient znajdzie poszukiwany towar i dokona zakupu. Ale też tym większa ilość pieniędzy Pawła nie ma postaci płynnej, tylko jest zapasem wapna, klejów i narzędzi budowlanych.

Paweł ma bieżącą informację o tym, jaka jest wartość zapasów w magazynie. Jeśli odniesie ją od wielkości sprzedaży, otrzyma informację o ich rotacji – będzie wiedział w jakim czasie teoretycznie sprzeda wszystkie swoje zapasy. Teoretycznie, bo w hurtowni budowlanej znajdują się towary sprzedawane codziennie (cement) oraz takie, które na nabywcę potrafią czekać bardzo długo (betoniarka).

Należności handlowe.

Sam fakt sprzedaży nie oznacza automatycznego otrzymania zapłaty. Gotówką płacą mali odbiorcy. Z jednej strony to kłopot dla Pawła: w sumie nie kupują dużo, są kapryśni, same koszty ich obsługi są niemałe. Ale nagrodą jest błyskawiczna zapłata.

Większy obrót hurtownia Pawła realizuje z lokalnymi ekipami remontowymi. To klienci, którzy znają ofertą Pawła bardzo dobrze, wracają niemal codziennie i zakupów dokonują bardzo szybko. Oczekują tylko nieco niższych cen i często odroczonej zapłaty. Płacą po zakończonym remoncie – po trzech-czterech tygodniach od zakupu. Tak powstają należności handlowe. Kwoty, na które Paweł czeka, bo ma je obiecane…

Atrakcyjne wydają się być kontrakty z firmami budowlanymi. Tam chodzi o duże dostawy, ale na zapłatę trzeba czekać 120 dni, bo takie są terminy. A i tak zapłata zależy od tego, kiedy inwestor dokona zapłaty na rzecz klienta hurtowni Pawła.

Jeśli Paweł doda do siebie wartość należności „zeszytowych” do należności z kontraktów z firmami budowlanymi, będzie wiedział na jaką łączną kwotę zapłaty czeka. Jeśli odniesie ją do wielkości sprzedaży, pozna rotację należności – okres, po którym nastąpi zapłata wszystkich przysługujących mu kwot.

W przypadku hurtowni Pawła rotacja należności (i ich wartość) zależy od kombinacji sprzedaży do trzech grup klientów. Jeśli w jakimś okresie sprzedawałby wyłącznie drobnym odbiorcom za gotówkę, to stan należności i okres ich rotacji spadłby do zera. Im większy jednak będzie udział sprzedaży do firm budowlanych, tym należności będą większe i okres oczekiwania na zapłatę także.

Zobowiązania handlowe.

Nie ma wątpliwości, że hurtownia Pawła, jak każda firma potrzebuje pieniędzy. Przede wszystkim po to, aby zapłacić za towar. Czyli być w stanie go pozyskać, aby w ogóle działać. Oczywiście Paweł stara się kupować na termin. Każdy wynegocjowany odroczony termin zapłaty jest wsparciem dla płynności. Nie z każdym dostawcą to się jednak udaje: wielcy producenci cementu czy firmy handlujące stalą oczekują zapłaty z góry. Ale już z lokalnym producentem kostki brukowej można się dogadać.

I znowu: od kombinacji dostawców, ich otwartości na odroczenie terminów zapłaty i okresów odroczenia zależy zarówno łączna kwota zobowiązań handlowych, jak i okres ich rotacji (teoretyczny czas, w którym ma nastąpić spłata wszystkich zobowiązań firmy). Dla płynności lepiej, jeśli zobowiązania są duże i okresy płatności długie: bo to oznacza więcej czasu na sprzedaż towarów kupionych na kredyt kupiecki.

Luka finansowa.

To wielkość, która pokazuję skalę obciążenia płynności firmy w wyniku działalności operacyjnej. Można ją wyrazić kwotą i wówczas oblicza się ją ze wzoru:

albo w dniach sprzedaży i wówczas należy posłużyć się wartościami rotacji zapasów, należności i zobowiązań.

Im większa luka finansowa, tym więcej pieniędzy niezbędnych jest do zapewnienia działalności firmy. Chodzi o finansowanie majątku obrotowego (zapasów i należności handlowych). Naturalnym źródłem jego finansowania są zobowiązania handlowe (amerykańskie podręczniki finansów określają to mianem spontanicznego finansowania). To zazwyczaj jednak nie wystarcza i potrzebne są kapitały właściciela albo kredyty bankowe. 

I to odkryje Paweł, jeśli oprócz informacji o zysku zacznie analizować lukę finansową. Ona jest zmienna w czasie, zarówno jeśli chodzi o kwotę, jak i o swoją strukturę. Ale jeśli się zwiększa, to potrzeba coraz więcej pieniędzy, a dotychczas przyznane kredyty nie wystarczają. I to pokazuje prawdziwą płynność firmy.

Dynamikę płynności jeszcze lepiej opisują przepływy pieniężne, o których napiszę za tydzień. Zapraszam.

czytaj dalej

091. Jak mierzyć płynność firmy?

Płynność jest ważniejsza od zysku, bo to ona decyduje o przetrwaniu firmy. Jeśli jest tak ważna, to przydałoby się ją mierzyć, choćby po to, żeby wiedzieć, czy nasza firma jest bezpieczna, czy zbliża się do kłopotów. Jak więc mierzyć płynność? Wbrew pozorom kwestia pomiaru płynności przedsiębiorstwa nie jest tak oczywista, jak innych parametrów opisujących funkcjonowanie firmy.

Ten temat zajmie mi dwa artykuły. W dzisiejszym przeanalizujmy wskaźniki, których nazwa sugeruje, że służą do pomiaru płynności. Uprzedzam, że nie jestem ich orędownikiem, więc mogę być nieco krytyczny wobec ich wartości analitycznej.

Wskaźniki płynności.

Nauki o finansach wykształciły zespół wskaźników określanych mianem wskaźników płynności. Na pozór, to właśnie one powinny dawać precyzyjną informację o płynności firmy. Do najczęściej stosowanych należą:

Teoretycznie wskaźniki te pokazują, czy firma ma z czego zapłacić swoje zobowiązania krótkoterminowe (a więc kwoty przypadające do zapłaty w okresie do roku). Niestety tylko teoretycznie.

W przypadku wskaźnika płynności zakłada się, że źródłem płatności za zobowiązania będą wszystkie aktywa obrotowe firmy. Należą do nich w szczególności zapasy (towary i produkty w magazynie) i należności handlowe (kwoty, na zapłatę których firma czeka). I już widać, że w normalnej sytuacji nie da się nimi zapłacić. Duże poziomy zapasów i należności, gwarantujące w sensie arytmetycznym wysoki poziom wskaźnika płynności, są więc zagrożeniem dla płynności firmy, a nie potwierdzeniem, że jest ona idealna.

Próbą ominięcia tych ograniczeń wskaźnika płynności jest stosowanie wskaźnika płynności szybkiej. Tu dla odmiany nie traktuje się zapasów (a także rozliczeń międzyokresowych kosztów) jako łatwego źródła gotówki. Słusznie. Gdyby firma chciała szybko sprzedać swoje zapasy, żeby spłacić zobowiązania, to po pierwsze musiałaby obniżyć cenę, a po drugie i tak czekać za zapłatę od nabywców. To oczekiwanie jest w sprzeczności z ideą płynności jako takiej.

Mamy więc trzeci wskaźnik, który jako źródło spłaty zobowiązań traktuje wyłącznie środki pieniężne. Rzeczywiście, jeśli firma ma na rachunku bankowym 1 milion złotych, to może tym milionem natychmiast spłacić swoje zobowiązania. Ale firma nie istnieje po to, aby na jej rachunkach leżały miliony i naprawdę rzadko się to zdarza. Te miliony (a także mniejsze kwoty) są raczej „ulokowane” w prowadzonej działalności gospodarczej w postaci zapasów, należności i środków trwałych, a środki pieniężne w dyspozycji firmy są zazwyczaj niewielkie w stosunku do jej zobowiązań. I to jest jak najbardziej normalne.

Krytyka wskaźników płynności.

Analiza wskaźników płynności może prowadzić do błędnych wniosków, w przypadku analizy różnych okresów. Wyobraźmy sobie firmę handlową, która posiada wyłącznie aktywa i pasywa obrotowe (bilans 1). Na podstawie samych wskaźników trudno ocenić jej płynność: aktywa obrotowe są równe zobowiązaniom krótkoterminowym, więc wprawdzie firma będzie miała z czego zapłacić swoje zobowiązania, ale to trochę czasu zajmie. 40% aktywów stanowią zapasy i bez ich sprzedaży nie da się spłacić banków i dostawców. Wskaźnik nie odpowie na pytanie, jak skomplikowana będzie operacja sprzedaży zapasów. A na rachunku bankowym znajdują się środki zapewniające zapłatę jedynie 20% zobowiązań firmy. Pozornie niewiele, ale to najzupełniej normalna sytuacja.

Bilans 1.

Co się jednak wydarzy, jeśli firma sprzeda całość swoich zapasów (o wartości magazynowej 200) za cenę 500? W sensie rachunku wyników wygeneruje zysk w wysokości 300 (osiągnie 150% rentowności). Ale jak się zmieni płynność?

Jeśli będzie to sprzedaż za gotówkę, płynność firmy natychmiast się poprawi. Rozumiemy to intuicyjnie i zobaczymy to w bilansie i wartościach wskaźników płynności. Sytuacja firmy będzie tak dobra, że będzie w stanie natychmiast spłacić wszystkie swoje zobowiązania (świadczyć o tym będzie wskaźnik płynności gotówkowej oraz porównanie salda rachunku bankowego z zobowiązaniami firmy, zobacz Bilans 2). W takiej sytuacji wskaźniki płynności potwierdzą poprawę sytuacji firmy.

Bilans 2.

Tylko, że to się nie zdarza. W rzeczywistości gospodarczej firma sprzedaje swoje zapasy nie za gotówkę, tylko z odroczonym terminem zapłaty. Sam fakt sprzedaży nie będzie związany z pojawieniem się pieniędzy na rachunku bankowym. Faktyczna płynność nie ulegnie poprawie. W bilansie zobaczymy jedynie zwiększoną pozycję należności handlowych i oczywiście zysk z przeprowadzonej transakcji (zob. Bilans 3).

Bilans 3.

W takiej sytuacji nastąpi znacząca poprawa wielkości wskaźników płynności (wzrosły aktywa, bo zapasy sprzedano z zyskiem) i płynności szybkiej (bo znikną zapasy i zwiększą się należności). Na podstawie wskaźników będzie więc można wyciągnąć wniosek, że płynność się poprawiła, tylko, że będzie to wniosek jak najbardziej błędny. Według tych wskaźników płynność poprawi się w takim samym stopniu, niezależnie od tego czy sprzedaż nastąpiła za gotówkę (bilans 2) czy na termin (bilans 3), a przecież to niedorzeczność.

Oczywiście niezmienny pozostanie wskaźnik płynności gotówkowej (bo nie zmieni się stan gotówki), ale jak już pisałem celem przedsiębiorstwa nie jest maksymalizacja stanu środków pieniężnych na rachunkach, więc znowu może pojawić się myśl, aby na ten wskaźnik nie zwracać uwagę. W tym przypadku byłby to błąd...

Co mówią wskaźniki płynności?

Mimo wad wskaźniki płynności są wykorzystywane w analizie i nie można powiedzieć, że są bezwartościowe. Moim zdaniem wskaźnik płynności nie tyle obrazuje płynność firmy, co wskazuje na sposób finansowania jej aktywów. Jeśli jego wartość jest mniejsza od 1 (aktywa obrotowe są mniejsze od zobowiązań krótkoterminowych), to majątek trwały firmy jest finansowany w jakiejś części krótkoterminowymi pasywami. To jest naruszenie złotej zasady bilansowej i w wielu przypadkach stanowić może zagrożenie dla funkcjonowania przedsiębiorstwa.

Porównanie wskaźnika płynności szybkiej do wskaźnika płynności pokaże nam znaczenie zapasów i rozliczeń międzyokresowych kosztów w analizowanej firmie. Te typy aktywów traktowane są jako stosunkowo mało płynne, co zwłaszcza w przypadku zapasów jest pewnym uproszczeniem (zapasy mogą bowiem być szybko rotujące albo trudnozbywalne i nie da się tego ocenić na podstawie wskaźników płynności). Generalnie jednak droga od zapasów do gotówki jest dłuższa niż droga od należności do gotówki, więc w tym sensie wskaźnik działa poprawnie.

A wskaźnik płynności gotówkowej pokazuje jaką część zobowiązań firma może zapłacić w chwili analizy. Tylko, że jak pisałem: firma nie jest po to, aby mieć gotówkę na koncie.

Inne sposoby pomiaru płynności.

Inne sposoby pomiaru płynności firmy (moim zdaniem bardziej precyzyjne) przedstawię za tydzień. Zapraszam.

czytaj dalej

090. Matura 1924 z matematyki: ekonomia i filantropia w jednym zadaniu. Rozwiązanie.

Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek, by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.

Tak brzmiało jedno z zadań, z którymi zmagali się poznańscy maturzyści w roku 1924. Jego treść zaczerpnąłem ze Sprawozdania dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24 (zadanie dla oddziału typu starego; pisownia nazwy szkoły oryginalna). Na początku lipca umieściłem na blogu analizę treści tego zadania oraz rozwiązanie w Excelu (tego typu zadania idealnie wpisują się w możliwości arkusza kalkulacyjnego). Dziś przedstawię rozwiązanie „analogowe”, czyli takie, które było w zasięgu maturzystów sprzed dziewięćdziesięciu sześciu lat.
Zadanie sprowokowało ciekawą dyskusję mailową. Szczególne podziękowania dla Szymona z Cieszyna, którego rozumowanie (i wątpliwości) są wykorzystane w tym artykule. „Honorarium” (przewodnik Pascala „Nowy pomysł na Polskę” i kilka gadżetów towarzyszących) zostało już wysłane pocztą.

Na zdjęciu powyżej przedwojenni polscy matematycy Stefan Banach i Otto Nikodym dyskutujący zawzięcie na krakowskich Plantach. Zapewne o matematyce...

Jak to zadanie rozwiązywał przedwojenny maturzysta?

W tym miejscu oddaję głos Szymonowi, który napisał tak:

Kapitał po dziesięciu latach jest różnicą lokaty [oprocentowanej] 3,5% rocznie z kapitalizacją na końcu [każdego] roku oraz dziesięcioletniej renty [płatnej] z dołu o wypłacie 4.200 zł.

Rozwiązaniem zadania jest kwota odsetek od tego kapitału, czyli 3,5% od tak obliczonej wartości.

Minimalna liczba słów, zawierająca jednak całość rozumowania. Widać, że ich autor jest umysłem ścisłym. I to jakim! Prowadzi bloga https://byc-matematykiem.pl, którego polecam wszystkim miłośnikom matematyki. 

Dla odmiany ekonomia jest nauką społeczną, opiera się na mówieniu, więc mi wyjaśnienie tego zagadnienia zajęło dwa ekrany tekstu (por. post 072.). Warto kontaktować się z czytelnikami, bo można się czegoś nauczyć. 😊

Rzeczywiście w tym zadaniu mamy dwie operacje finansowe. Jedną jest lokata, która po dziesięciu latach (dziesięciu kapitalizacjach odsetek) zwiększy swą wartość do:

gdzie K to lokowana kwota (specjalnie nie określam jej wartości, bo budzi wątpliwości).

Druga operacja to wypłaty tej samej kwoty 4.200 zł w stałych (rocznych) odstępach czasu. W matematyce finansowej taki ciąg nosi nazwę renty i wyprowadzone są wzory na końcową sumę takich płatności w zależności od tego, czy płatność następuje z góry, czy z dołu.

W treści naszego zadania pada określenie „płatne z góry”. Można na to zadania patrzeć jak na rentę płatną z dołu (czyli po zaksięgowaniu rocznych odsetek), mając jednak w głowie kwestię tego, jaka kwota podlegała oprocentowaniu w pierwszym roku (150.000 czy 145.800).

Wzór na sumę wartości dziesięcioletniej renty płatnej z dołu dla wartości z tego zadania wygląda tak:

Pozostaje tylko zdecydować się na wartość K, obliczyć obie wartości, odjąć od siebie, przemnożyć przez 3,5% i wręczyć arkusz odpowiedzi komisji egzaminacyjnej.

Spis wątpliwości.

W zadaniu są dwie niejasności.

O pierwszej pisałem trzy tygodnie temu. Dotyczy wartości lokowanej kwoty i wynika z niejasnego moim zdaniem określenia „z dochodów […] płatne z góry”. Jeśli płatność następuje „z dochodu”, to konieczne jest naliczenie odsetek, czyli pierwsza płatność następuje po roku (i trudno ją nazwać płatnością z góry). Jeśli płatność następuje z góry, to w przypadku pierwszej płatności trudno mówić o wypłacie „z dochodu”, bo jest realizowana z zapisanego kapitału.

W zależności od wyboru rozumowania oprocentowaniu będzie podlegać albo kwota 150.000 złotych albo 145.800 i to oczywiście ma wpływ na ostateczną odpowiedź.

Druga wątpliwość związana jest z długością życia służącego, a dotyczy konkretnie tego, czy służący zdąży przed śmiercią odebrać 1.200 złotych po dziesiątym roku lokaty czy nie. Gdyby treść zadania mówiła, że będzie żył dziewięć i pół roku, wątpliwości by nie było. Jeśli rozumieć dosłownie, że żył dziesięć lat, to zmarł dokładnie w dniu zapadalności lokaty po dziesiątym roku. W dzisiejszych realiach oznaczałoby to, że na koniec dnia (dziesiątej rocznicy lokaty) bank naliczyłby odsetki i dokonałby transferu, przy czym najprawdopodobniej służący już by z nich nie skorzystał…

Mi osobiście bardzo podobają się takie niejasności, bo pozwalają pokazać sposób rozumowania. A przecież właśnie to jest najważniejsze. Mając takie wątpliwości opisałbym je, jeszcze przed rozpoczęciem rozwiązywania zadania w sensie matematycznym. I jestem przekonany, że znalazłoby to uznanie wśród członków komisji egzaminacyjnej z roku 1924, a także tej z roku 1992 przed którą sam zdawałem maturę.

Jak by to było dzisiaj? Czy trzeba byłoby się odwoływać? Nie wiem…

Jeszcze raz Excel.

W zależności od przyjętego rozumowania to zadanie może doprowadzić do różnych rozwiązań liczbowych. Ot taka ciekawostka. Ogromną pomocą jest w takich przypadkach Excel. Budujemy arkusz i w zależności od tego, jaką kwotę bazową wpiszemy i kiedy przerwiemy naliczanie odsetek otrzymamy rozwiązania naszego zadania bez żmudnych kalkulacji.

Policzyć sobie można ze wzorów podanych powyżej, a poprawne rozwiązania (w sumie cztery warianty w zależności od interpretacji treści zadania) są zaprezentowane poniżej. Powodzenia!

czytaj dalej