Post z ubiegłego tygodnia faktycznie był poświęcony ekonomicznym tematom maturalnym na przedwojennej maturze z języka polskiego. Prawdziwą kopalnią zagadnień ekonomicznych dla przedwojennych maturzystów był natomiast oczywiście egzamin z matematyki.
Ekonomię na maturze z matematyki można było przed wojną spotkać stosunkowo często, zadania były - moim zdaniem - bardzo życiowe, a ich rozwiązanie nawet dziś przynosi sporą satysfakcję. Nie będę jednak ukrywał, że rozwiązywałem je z perspektywy ekonomisty a nie matematyka i przy użyciu wszystkich dostępnych dziś możliwości, w tym Excela. Mam nadzieję, że miłośnicy matematyki mi to wybaczą. Zanim pokażę, jak rozwiązałem zadania, zapraszam do udziału w konkursie.
Konkurs „Ekonomia na przedwojennej maturze”.
Zachęcam do włączenia się do zabawy w rozwiązywanie przedwojennych zadań maturalnych. Niniejszym ogłaszam konkurs na rozwiązanie zadania z matury w roku 1921w Państwowym Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu . Pierwsza osoba, która zadanie rozwiąże poprawnie otrzyma ode mnie książkę Małgorzaty Zawadzkiej i Urszuli Hoffmann "Moja historia, moja firma. Portrety polskich przedsiębiorców rodzinnych". Rozwiązanie proszę przesyłać mailem korzystając z opcji „kontakt” na blogu. Na rozwiązania czekam do 15 lipca 2017.
Treść zadania konkursowego (pisownia oryginalna):
Ktoś dawał przez 12 lat na 3 ½ % rocznie po 1880,83 mk z góry. Przez ile następnych lat będzie wzamian pobierał rentę roczną po 2000 mk?
Inspiracją, dobrym przykładem i zachętą niech będą dwa podobne zadania, których treść i rozwiązanie przedstawiam poniżej:
Zadanie 2. (Matura 1921)
Kupiec wkładał w końcu każdego roku po 3500 mk. do banku po 3,5%, prócz tego w końcu piątego i piętnastego roku wniósł jeszcze po 5000 mk. Ile wynosi kapitał jego w końcu 20-go roku?
Źródło: histmag.org.
Rozwiązanie:
Skrót „mk” oznacza marki polskie. Skoro oprocentowanie wynosi 3,5% to należy rozumieć, że jest ono w skali roku i że odsetki mają roczną kapitalizację. Pewnym kruczkiem jest, że wpłata następuje na koniec roku, bo to oznacza, że odsetki za pierwszy rok wyniosą zero (bowiem saldo rachunku będzie w pierwszym roku zerowe). Wpłaty po 3.500 marek za wyjątkiem roku piątego i piętnastego, kiedy kupiec wpłaci 8.500 marek.
Bardzo fajne zadanie na obserwację przyrostu oszczędności, wręcz idealne pod Excela, rozwiązanie poniżej:
a
|
b
|
c
|
d
|
e
|
f
|
|
=f z roku -1
|
|
=b*c
|
|
=b+d+e
|
rok
|
saldo na początku
roku
|
stopa procentowa
|
odsetki naliczane
na koniec roku
|
wpłata
(dokonywana na końcu roku)
|
saldo na koniec
roku
|
1
|
0,00
|
3,50%
|
0,00
|
3 500,00
|
3 500,00
|
2
|
3 500,00
|
3,50%
|
122,50
|
3 500,00
|
7 122,50
|
3
|
7 122,50
|
3,50%
|
249,29
|
3 500,00
|
10 871,79
|
4
|
10 871,79
|
3,50%
|
380,51
|
3 500,00
|
14 752,30
|
5
|
14 752,30
|
3,50%
|
516,33
|
8 500,00
|
23 768,63
|
6
|
23 768,63
|
3,50%
|
831,90
|
3 500,00
|
28 100,53
|
7
|
28 100,53
|
3,50%
|
983,52
|
3 500,00
|
32 584,05
|
8
|
32 584,05
|
3,50%
|
1 140,44
|
3 500,00
|
37 224,49
|
9
|
37 224,49
|
3,50%
|
1 302,86
|
3 500,00
|
42 027,35
|
10
|
42 027,35
|
3,50%
|
1 470,96
|
3 500,00
|
46 998,31
|
11
|
46 998,31
|
3,50%
|
1 644,94
|
3 500,00
|
52 143,25
|
12
|
52 143,25
|
3,50%
|
1 825,01
|
3 500,00
|
57 468,26
|
13
|
57 468,26
|
3,50%
|
2 011,39
|
3 500,00
|
62 979,65
|
14
|
62 979,65
|
3,50%
|
2 204,29
|
3 500,00
|
68 683,94
|
15
|
68 683,94
|
3,50%
|
2 403,94
|
8 500,00
|
79 587,88
|
16
|
79 587,88
|
3,50%
|
2 785,58
|
3 500,00
|
85 873,45
|
17
|
85 873,45
|
3,50%
|
3 005,57
|
3 500,00
|
92 379,02
|
18
|
92 379,02
|
3,50%
|
3 233,27
|
3 500,00
|
99 112,29
|
19
|
99 112,29
|
3,50%
|
3 468,93
|
3 500,00
|
106
081,22
|
20
|
106
081,22
|
3,50%
|
3 712,84
|
3 500,00
|
113
294,06
|
Odnosząc się wyłącznie do liczb po dwudziestu latach uzyskujemy kapitał w wysokości 113.294,06
marek polskich. Jednak uwzględniając realia historyczne oszczędności kupca - bohatera zadania
gromadzone od roku 1921, zostałyby zjedzone przez hiperinflację, która doprowadziła do wymiany
marek na złotego po kursie 1.800.000 marek = 1 zł. Więc ci z Was, którzy bez liczenia odpowiedzieli
by, że kupiec nie zgromadzi niczego na swój sposób mieliby rację, choć pewnie egzaminator w roku 1921 uznałby to za odpowiedź niepoprawną.
Zadanie 3. (Matura 1925)
Osoba A wkłada z początkiem każdego roku r zł. na 4%, B zaś tę samą sumę z końcem każdego roku na 4% . Po 20 latach okazało się, że A posiada o 1191 zł. więcej niż B. Jaka była wkładka roczna?
Źródło: histmag.org.
Do rozwiązania tego zadania podejdę bardziej matematycznie. Kluczem jest dostrzeżenie, że osoba B
gromadzi kapitał z rocznym opóźnieniem w stosunku do osoby A. A zatem obie osoby wpłacają tę
samą kwotę K na ten sam procent (4% rocznie, kapitalizacja roczna), przy czym osoba A oszczędza
przez 20 lat, a osoba B przez 19 lat. Korzystając z wzoru na procent składany wiemy, że osoba A przez 20 lat zgromadzi:
K * (1+ 0,04)20
+ K * (1+ 0,04)19 + K
* (1+ 0,04)18 + … + K * (1+
0,04)
bo idąc od lewej odsetki od kwoty K wpłaconej w pierwszym roku będą skapitalizowana 20 razy, od
kwoty wpłaconej w drugim roku 19 razy itd., aż dojdziemy do kwoty wpłaconej w ostatnim roku,
która zostanie oprocentowana tylko raz (na końcu roku).
Osoba B, która oszczędza jeden rok krócej zgromadzi:
K * (1+ 0,04)19
+ K * (1+ 0,04)18 + … +
K * (1+ 0,04).
Różnica pomiędzy oszczędnościami obu osób dotyczy wyłącznie wpłaty osoby A z pierwszego roku
(czyli tej, której odsetki zostaną skapitalizowane 20 razy) i wynosi 1.191 zł, czyli mamy równanie:
K * (1+ 0,04)20 = 1.191 zł. z którego łatwo
obliczyć, że K = 543,56 zł.
Nie byłbym sobą, gdybym nie sprawdził obliczeń w Excelu. Ponownie budujemy dość prosty arkusz,
który wygląda tak:
a
|
b
|
c
|
d
|
e
|
f
|
|
|
=b + f z roku -1
|
|
=c*d
|
=c+e
|
rok
|
wpłata
na początku roku
|
saldo
na początku roku
|
stopa
procentowa
|
odsetki
naliczane na koniec roku
|
saldo
na koniec roku
|
1
|
543,56
|
543,56
|
4,00%
|
21,74
|
565,30
|
2
|
543,56
|
1 108,86
|
4,00%
|
44,35
|
1 153,22
|
3
|
543,56
|
1 696,78
|
4,00%
|
67,87
|
1 764,65
|
4
|
543,56
|
2 308,21
|
4,00%
|
92,33
|
2 400,54
|
5
|
543,56
|
2 944,10
|
4,00%
|
117,76
|
3 061,86
|
6
|
543,56
|
3 605,42
|
4,00%
|
144,22
|
3 749,64
|
7
|
543,56
|
4 293,20
|
4,00%
|
171,73
|
4 464,92
|
8
|
543,56
|
5 008,48
|
4,00%
|
200,34
|
5 208,82
|
9
|
543,56
|
5 752,38
|
4,00%
|
230,10
|
5 982,48
|
10
|
543,56
|
6 526,04
|
4,00%
|
261,04
|
6 787,08
|
11
|
543,56
|
7 330,64
|
4,00%
|
293,23
|
7 623,87
|
12
|
543,56
|
8 167,43
|
4,00%
|
326,70
|
8 494,12
|
13
|
543,56
|
9 037,68
|
4,00%
|
361,51
|
9 399,19
|
14
|
543,56
|
9 942,75
|
4,00%
|
397,71
|
10 340,46
|
15
|
543,56
|
10 884,02
|
4,00%
|
435,36
|
11 319,38
|
16
|
543,56
|
11 862,94
|
4,00%
|
474,52
|
12 337,46
|
17
|
543,56
|
12 881,02
|
4,00%
|
515,24
|
13 396,26
|
18
|
543,56
|
13 939,82
|
4,00%
|
557,59
|
14 497,41
|
19
|
543,56
|
15 040,97
|
4,00%
|
601,64
|
15 642,61
|
20
|
543,56
|
16 186,17
|
4,00%
|
647,45
|
16 833,62
|
I rzeczywiście różnica , jaka wynika z wpłacania kwoty 543,56 na 4% przez dwadzieścia i przez
dziewiętnaście lat wynosi 1.191,01. Ten grosik wynika z zaokrągleń i myślę, że Komisja Egzaminacyjna mi go łaskawie wybaczy.
Podobają się Wam takie zadania? Zapraszam do komentowania. Za tydzień opublikuję mały zbiorek ekonomicznych zadań z przedwojennej matury. Do zobaczenia.
