090. Matura 1924 z matematyki: ekonomia i filantropia w jednym zadaniu. Rozwiązanie.
Posted by Mariusz Wdowiak on środa, sierpnia 01, 2018 with 5 comments
Obywatel, zapisując na szpital 150.000 zł, dodaje warunek,
by z dochodów wypłacano służącemu dożywotnio po 1.200 zł rocznie z góry, a na
cele szpitala po 3.000 zł. Reszta odsetek ma zwiększać kapitał, a dopiero po
śmierci służącego cały dochód może zużywać szpital. Obliczyć ten dochód, jeśli
służący żył 10 lat, a oprocentowanie liczono po 3 ½ %.
Tak brzmiało jedno z zadań, z którymi zmagali się poznańscy
maturzyści w roku 1924. Jego treść zaczerpnąłem ze Sprawozdania dyrekcji
Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24
(zadanie dla oddziału typu starego; pisownia nazwy szkoły oryginalna). Na
początku lipca umieściłem na blogu analizę treści tego zadania oraz rozwiązanie
w Excelu (tego typu zadania idealnie wpisują się w możliwości arkusza
kalkulacyjnego). Dziś przedstawię rozwiązanie „analogowe”, czyli takie, które
było w zasięgu maturzystów sprzed dziewięćdziesięciu sześciu lat.Zadanie sprowokowało ciekawą dyskusję mailową. Szczególne podziękowania dla Szymona z Cieszyna, którego rozumowanie (i wątpliwości) są wykorzystane w tym artykule. „Honorarium” (przewodnik Pascala „Nowy pomysł na Polskę” i kilka gadżetów towarzyszących) zostało już wysłane pocztą.
Na zdjęciu powyżej przedwojenni polscy matematycy Stefan Banach i Otto Nikodym dyskutujący zawzięcie na krakowskich Plantach. Zapewne o matematyce...
Jak to zadanie rozwiązywał przedwojenny maturzysta?
W tym miejscu oddaję głos Szymonowi, który napisał tak:
Kapitał po dziesięciu latach jest różnicą lokaty [oprocentowanej] 3,5% rocznie z kapitalizacją na końcu [każdego] roku oraz dziesięcioletniej renty [płatnej] z dołu o wypłacie 4.200 zł.
Rozwiązaniem zadania jest kwota odsetek od tego kapitału, czyli 3,5% od tak obliczonej wartości.
Minimalna liczba słów, zawierająca jednak całość
rozumowania. Widać, że ich autor jest umysłem ścisłym. I to jakim! Prowadzi bloga https://byc-matematykiem.pl, którego polecam wszystkim miłośnikom matematyki.
Dla odmiany ekonomia jest nauką społeczną, opiera się na mówieniu, więc mi wyjaśnienie tego zagadnienia zajęło dwa ekrany tekstu (por. post 072.). Warto kontaktować się z czytelnikami, bo można się czegoś nauczyć. 😊
Dla odmiany ekonomia jest nauką społeczną, opiera się na mówieniu, więc mi wyjaśnienie tego zagadnienia zajęło dwa ekrany tekstu (por. post 072.). Warto kontaktować się z czytelnikami, bo można się czegoś nauczyć. 😊
Rzeczywiście w tym zadaniu mamy dwie operacje finansowe.
Jedną jest lokata, która po dziesięciu latach (dziesięciu kapitalizacjach
odsetek) zwiększy swą wartość do:
gdzie K to lokowana kwota (specjalnie nie określam jej
wartości, bo budzi wątpliwości).
Druga operacja to wypłaty tej samej kwoty 4.200 zł w stałych
(rocznych) odstępach czasu. W matematyce finansowej taki ciąg nosi nazwę renty
i wyprowadzone są wzory na końcową sumę takich płatności w zależności od tego,
czy płatność następuje z góry, czy z dołu.
W treści naszego zadania pada określenie „płatne z góry”.
Można na to zadania patrzeć jak na rentę płatną z dołu (czyli po zaksięgowaniu
rocznych odsetek), mając jednak w głowie kwestię tego, jaka kwota podlegała
oprocentowaniu w pierwszym roku (150.000 czy 145.800).
Wzór na sumę wartości dziesięcioletniej renty płatnej z dołu
dla wartości z tego zadania wygląda tak:
Pozostaje tylko zdecydować się na wartość K, obliczyć obie
wartości, odjąć od siebie, przemnożyć przez 3,5% i wręczyć arkusz odpowiedzi
komisji egzaminacyjnej.
Spis wątpliwości.
O pierwszej pisałem trzy tygodnie temu. Dotyczy wartości
lokowanej kwoty i wynika z niejasnego moim zdaniem określenia „z dochodów […]
płatne z góry”. Jeśli płatność następuje „z dochodu”, to konieczne jest
naliczenie odsetek, czyli pierwsza płatność następuje po roku (i trudno ją
nazwać płatnością z góry). Jeśli płatność następuje z góry, to w przypadku
pierwszej płatności trudno mówić o wypłacie „z dochodu”, bo jest realizowana z
zapisanego kapitału.
W zależności od wyboru rozumowania oprocentowaniu będzie podlegać
albo kwota 150.000 złotych albo 145.800 i to oczywiście ma wpływ na ostateczną
odpowiedź.
Druga wątpliwość związana jest z długością życia służącego,
a dotyczy konkretnie tego, czy służący zdąży przed śmiercią odebrać 1.200
złotych po dziesiątym roku lokaty czy nie. Gdyby treść zadania mówiła, że
będzie żył dziewięć i pół roku, wątpliwości by nie było. Jeśli rozumieć
dosłownie, że żył dziesięć lat, to zmarł dokładnie w dniu zapadalności lokaty
po dziesiątym roku. W dzisiejszych realiach oznaczałoby to, że na koniec dnia
(dziesiątej rocznicy lokaty) bank naliczyłby odsetki i dokonałby transferu,
przy czym najprawdopodobniej służący już by z nich nie skorzystał…
Mi osobiście bardzo podobają się takie niejasności, bo
pozwalają pokazać sposób rozumowania. A przecież właśnie to jest
najważniejsze. Mając takie wątpliwości opisałbym je, jeszcze przed rozpoczęciem
rozwiązywania zadania w sensie matematycznym. I jestem przekonany, że
znalazłoby to uznanie wśród członków komisji egzaminacyjnej z roku 1924, a
także tej z roku 1992 przed którą sam zdawałem maturę.
Jak by to było dzisiaj? Czy trzeba byłoby się odwoływać? Nie
wiem…
Jeszcze raz Excel.
W zależności od przyjętego rozumowania to zadanie może
doprowadzić do różnych rozwiązań liczbowych. Ot taka ciekawostka. Ogromną
pomocą jest w takich przypadkach Excel. Budujemy arkusz i w zależności od tego,
jaką kwotę bazową wpiszemy i kiedy przerwiemy naliczanie odsetek otrzymamy
rozwiązania naszego zadania bez żmudnych kalkulacji.
Policzyć sobie można ze wzorów podanych powyżej, a poprawne rozwiązania (w sumie cztery warianty w zależności od interpretacji treści zadania) są zaprezentowane poniżej. Powodzenia!
Policzyć sobie można ze wzorów podanych powyżej, a poprawne rozwiązania (w sumie cztery warianty w zależności od interpretacji treści zadania) są zaprezentowane poniżej. Powodzenia!
Ten komentarz został usunięty przez autora.
OdpowiedzUsuńDziękuję za możliwość wystąpienia na Twoim blogu i za interesujące nagrody. Dla mnie dyskusja z Tobą była bardzo ciekawa.
OdpowiedzUsuńZ kręgu zainteresowań Twojego bloga polecam na swoim cykl artykułów pod wspólnym tytułem ,,Subtelności liczenia pieniędzy'' (https://byc-matematykiem.pl/subtelnosci-liczenia-pieniedzy-czesc-i/) oraz krótki wpis o RRSO w najprostszy przypadku jej obliczania (https://byc-matematykiem.pl/kiedy-zaczyna-sie-lichwa/).
To dla mnie zaszczyt, że wpadłeś na mojego bloga. Naprawdę.
OdpowiedzUsuńZ zainteresowaniem przeczytałem Twój cykl „Subtelności liczenia pieniędzy” i post o RRSO. Ciekawie piszesz. Gratuluję. Wszystkim PT Czytelnikom polecam.
W grudniu zajmowałem się tematem RRSO. Z perspektywy nieco innej niż Twoja. Pracuję w bankowości korporacyjnej i my nie posługujemy się akurat tym wskaźnikiem, ale jest interesującą próbą sprowadzenia wszystkich kredytów do jednego miernika, który jednak doskonały nie jest. Szczegóły pod linkiem: http://ekonomianaszapowszednia.blogspot.com/2017/12/057-rrso-czesc-2-czy-moj-kredyt-jest.html.
A przy okazji rozwiązując inne przedwojenne zadanie maturalne z ekonomii (czy dokładniej mówiąc z matematyki finansowej) trochę sobie pożartowałem na temat różnic między podejściem matematycznym a ekonomicznym. Vide: https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7238200567671204679#editor/target=post;postID=5397905799796594677;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=14;src=postname
Jeszcze raz dziękuję. Będę wpadał na Twojego bloga a te „finansowe” posty zalinkuję na FB.
Dobrze tak zajrzeć do historii :)
OdpowiedzUsuńTło historyczno-ekonomiczne tego zadania przedstawiłem w poście 087. Zachęcam do lektury.
Usuń