034. Przedwojenna matura. Zadania z ekonomii (1).

Posted by Mariusz Wdowiak on środa, lipca 05, 2017 with No comments
Post z ubiegłego tygodnia faktycznie był poświęcony ekonomicznym tematom maturalnym na przedwojennej maturze z języka polskiego. Prawdziwą kopalnią zagadnień ekonomicznych dla przedwojennych maturzystów był natomiast oczywiście egzamin z matematyki.

Ekonomię na maturze z matematyki można było przed wojną spotkać stosunkowo często, zadania były - moim zdaniem - bardzo życiowe, a ich rozwiązanie nawet dziś przynosi sporą satysfakcję. Nie będę jednak ukrywał, że rozwiązywałem je z perspektywy ekonomisty a nie matematyka i przy użyciu wszystkich dostępnych dziś możliwości, w tym Excela. Mam nadzieję, że miłośnicy matematyki mi to wybaczą. Zanim pokażę, jak rozwiązałem zadania, zapraszam do udziału w konkursie.

Konkurs „Ekonomia na przedwojennej maturze”.

Zachęcam do włączenia się do zabawy w rozwiązywanie przedwojennych zadań maturalnych. Niniejszym ogłaszam konkurs na rozwiązanie zadania z matury w roku 1921w Państwowym Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu . Pierwsza osoba, która zadanie rozwiąże poprawnie otrzyma ode mnie książkę Małgorzaty Zawadzkiej i Urszuli Hoffmann "Moja historia, moja firma. Portrety polskich przedsiębiorców rodzinnych". Rozwiązanie proszę przesyłać mailem korzystając z opcji „kontakt” na blogu. Na rozwiązania czekam do 15 lipca 2017.

Treść zadania konkursowego (pisownia oryginalna): Ktoś dawał przez 12 lat na 3 ½ % rocznie po 1880,83 mk z góry. Przez ile następnych lat będzie wzamian pobierał rentę roczną po 2000 mk?

Inspiracją, dobrym przykładem i zachętą niech będą dwa podobne zadania, których treść i rozwiązanie przedstawiam poniżej:

Zadanie 2. (Matura 1921)

Kupiec wkładał w końcu każdego roku po 3500 mk. do banku po 3,5%, prócz tego w końcu piątego i piętnastego roku wniósł jeszcze po 5000 mk. Ile wynosi kapitał jego w końcu 20-go roku?
Źródło: histmag.org.

Rozwiązanie:
Skrót „mk” oznacza marki polskie. Skoro oprocentowanie wynosi 3,5% to należy rozumieć, że jest ono w skali roku i że odsetki mają roczną kapitalizację. Pewnym kruczkiem jest, że wpłata następuje na koniec roku, bo to oznacza, że odsetki za pierwszy rok wyniosą zero (bowiem saldo rachunku będzie w pierwszym roku zerowe). Wpłaty po 3.500 marek za wyjątkiem roku piątego i piętnastego, kiedy kupiec wpłaci 8.500 marek.
Bardzo fajne zadanie na obserwację przyrostu oszczędności, wręcz idealne pod Excela, rozwiązanie poniżej:

a
b
c
d
e
f
 =f z roku -1
 =b*c
 =b+d+e
rok
saldo na początku roku
stopa procentowa
odsetki naliczane na koniec roku
wpłata
(dokonywana na końcu roku)
saldo na koniec roku
1
0,00
3,50%
0,00
3 500,00
3 500,00
2
3 500,00
3,50%
122,50
3 500,00
7 122,50
3
7 122,50
3,50%
249,29
3 500,00
10 871,79
4
10 871,79
3,50%
380,51
3 500,00
14 752,30
5
14 752,30
3,50%
516,33
8 500,00
23 768,63
6
23 768,63
3,50%
831,90
3 500,00
28 100,53
7
28 100,53
3,50%
983,52
3 500,00
32 584,05
8
32 584,05
3,50%
1 140,44
3 500,00
37 224,49
9
37 224,49
3,50%
1 302,86
3 500,00
42 027,35
10
42 027,35
3,50%
1 470,96
3 500,00
46 998,31
11
46 998,31
3,50%
1 644,94
3 500,00
52 143,25
12
52 143,25
3,50%
1 825,01
3 500,00
57 468,26
13
57 468,26
3,50%
2 011,39
3 500,00
62 979,65
14
62 979,65
3,50%
2 204,29
3 500,00
68 683,94
15
68 683,94
3,50%
2 403,94
8 500,00
79 587,88
16
79 587,88
3,50%
2 785,58
3 500,00
85 873,45
17
85 873,45
3,50%
3 005,57
3 500,00
92 379,02
18
92 379,02
3,50%
3 233,27
3 500,00
99 112,29
19
99 112,29
3,50%
3 468,93
3 500,00
106 081,22
20
106 081,22
3,50%
3 712,84
3 500,00
113 294,06

Odnosząc się wyłącznie do liczb po dwudziestu latach uzyskujemy kapitał w wysokości 113.294,06
marek polskich. Jednak uwzględniając realia historyczne oszczędności kupca - bohatera zadania
gromadzone od roku 1921, zostałyby zjedzone przez hiperinflację, która doprowadziła do wymiany
marek na złotego po kursie 1.800.000 marek = 1 zł. Więc ci z Was, którzy bez liczenia odpowiedzieli
by, że kupiec nie zgromadzi niczego na swój sposób mieliby rację, choć pewnie egzaminator w roku 1921 uznałby to za odpowiedź niepoprawną.

Zadanie 3. (Matura 1925)

Osoba A wkłada z początkiem każdego roku r zł. na 4%, B zaś tę samą sumę z końcem każdego roku na 4% . Po 20 latach okazało się, że A posiada o 1191 zł. więcej niż B. Jaka była wkładka roczna?
Źródło: histmag.org.

Do rozwiązania tego zadania podejdę bardziej matematycznie. Kluczem jest dostrzeżenie, że osoba B
gromadzi kapitał z rocznym opóźnieniem w stosunku do osoby A. A zatem obie osoby wpłacają tę
samą kwotę K na ten sam procent (4% rocznie, kapitalizacja roczna), przy czym osoba A oszczędza
przez 20 lat, a osoba B przez 19 lat. Korzystając z wzoru na procent składany wiemy, że osoba A przez 20 lat zgromadzi:
K * (1+ 0,04)20  + K * (1+ 0,04)19  + K * (1+ 0,04)18 + … +  K * (1+ 0,04) 
bo idąc od lewej odsetki od kwoty K wpłaconej w pierwszym roku będą skapitalizowana 20 razy, od
kwoty wpłaconej w drugim roku 19 razy itd., aż dojdziemy do kwoty wpłaconej w ostatnim roku,
która zostanie oprocentowana tylko raz (na końcu roku).

Osoba B, która oszczędza jeden rok krócej zgromadzi:
K * (1+ 0,04)19  + K * (1+ 0,04)18 + … +  K * (1+ 0,04).

Różnica pomiędzy oszczędnościami obu osób dotyczy wyłącznie wpłaty osoby A z pierwszego roku
(czyli tej, której odsetki zostaną skapitalizowane 20 razy) i wynosi 1.191 zł, czyli mamy równanie:
K * (1+ 0,04)20 = 1.191 zł. z którego łatwo obliczyć, że K = 543,56 zł. 

Nie byłbym sobą, gdybym nie sprawdził obliczeń w Excelu. Ponownie budujemy dość prosty arkusz,
który wygląda tak:

a
b
c
d
e
f
 =b + f z roku -1
 =c*d
 =c+e
rok
wpłata na początku roku
saldo na początku roku
stopa procentowa
odsetki naliczane na koniec roku
saldo na koniec roku
1
543,56
543,56
4,00%
21,74
565,30
2
543,56
1 108,86
4,00%
44,35
1 153,22
3
543,56
1 696,78
4,00%
67,87
1 764,65
4
543,56
2 308,21
4,00%
92,33
2 400,54
5
543,56
2 944,10
4,00%
117,76
3 061,86
6
543,56
3 605,42
4,00%
144,22
3 749,64
7
543,56
4 293,20
4,00%
171,73
4 464,92
8
543,56
5 008,48
4,00%
200,34
5 208,82
9
543,56
5 752,38
4,00%
230,10
5 982,48
10
543,56
6 526,04
4,00%
261,04
6 787,08
11
543,56
7 330,64
4,00%
293,23
7 623,87
12
543,56
8 167,43
4,00%
326,70
8 494,12
13
543,56
9 037,68
4,00%
361,51
9 399,19
14
543,56
9 942,75
4,00%
397,71
10 340,46
15
543,56
10 884,02
4,00%
435,36
11 319,38
16
543,56
11 862,94
4,00%
474,52
12 337,46
17
543,56
12 881,02
4,00%
515,24
13 396,26
18
543,56
13 939,82
4,00%
557,59
14 497,41
19
543,56
15 040,97
4,00%
601,64
15 642,61
20
543,56
16 186,17
4,00%
647,45
16 833,62

I rzeczywiście różnica , jaka wynika z wpłacania kwoty 543,56 na 4% przez dwadzieścia i przez
dziewiętnaście lat wynosi 1.191,01. Ten grosik wynika z zaokrągleń i myślę, że Komisja Egzaminacyjna mi go łaskawie wybaczy.

Podobają się Wam takie zadania? Zapraszam do komentowania. Za tydzień opublikuję mały zbiorek ekonomicznych zadań z przedwojennej matury. Do zobaczenia.