034. Przedwojenna matura. Zadania z ekonomii (1).

Post z ubiegłego tygodnia faktycznie był poświęcony ekonomicznym tematom maturalnym na przedwojennej maturze z języka polskiego. Prawdziwą kopalnią zagadnień ekonomicznych dla przedwojennych maturzystów był natomiast oczywiście egzamin z matematyki.

Ekonomię na maturze z matematyki można było przed wojną spotkać stosunkowo często, zadania były - moim zdaniem - bardzo życiowe, a ich rozwiązanie nawet dziś przynosi sporą satysfakcję. Nie będę jednak ukrywał, że rozwiązywałem je z perspektywy ekonomisty a nie matematyka i przy użyciu wszystkich dostępnych dziś możliwości, w tym Excela. Mam nadzieję, że miłośnicy matematyki mi to wybaczą. Zanim pokażę, jak rozwiązałem zadania, zapraszam do udziału w konkursie.

Konkurs „Ekonomia na przedwojennej maturze”.

Zachęcam do włączenia się do zabawy w rozwiązywanie przedwojennych zadań maturalnych. Niniejszym ogłaszam konkurs na rozwiązanie zadania z matury w roku 1921w Państwowym Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu . Pierwsza osoba, która zadanie rozwiąże poprawnie otrzyma ode mnie książkę Małgorzaty Zawadzkiej i Urszuli Hoffmann "Moja historia, moja firma. Portrety polskich przedsiębiorców rodzinnych". Rozwiązanie proszę przesyłać mailem korzystając z opcji „kontakt” na blogu. Na rozwiązania czekam do 15 lipca 2017.

Treść zadania konkursowego (pisownia oryginalna): Ktoś dawał przez 12 lat na 3 ½ % rocznie po 1880,83 mk z góry. Przez ile następnych lat będzie wzamian pobierał rentę roczną po 2000 mk?

Inspiracją, dobrym przykładem i zachętą niech będą dwa podobne zadania, których treść i rozwiązanie przedstawiam poniżej:

Zadanie 2. (Matura 1921)

Kupiec wkładał w końcu każdego roku po 3500 mk. do banku po 3,5%, prócz tego w końcu piątego i piętnastego roku wniósł jeszcze po 5000 mk. Ile wynosi kapitał jego w końcu 20-go roku?
Źródło: histmag.org.

Rozwiązanie:
Skrót „mk” oznacza marki polskie. Skoro oprocentowanie wynosi 3,5% to należy rozumieć, że jest ono w skali roku i że odsetki mają roczną kapitalizację. Pewnym kruczkiem jest, że wpłata następuje na koniec roku, bo to oznacza, że odsetki za pierwszy rok wyniosą zero (bowiem saldo rachunku będzie w pierwszym roku zerowe). Wpłaty po 3.500 marek za wyjątkiem roku piątego i piętnastego, kiedy kupiec wpłaci 8.500 marek.
Bardzo fajne zadanie na obserwację przyrostu oszczędności, wręcz idealne pod Excela, rozwiązanie poniżej:

a	b	c	d	e	f
	=f z roku -1		=b*c		=b+d+e
rok	saldo na początku roku	stopa procentowa	odsetki naliczane na koniec roku	wpłata (dokonywana na końcu roku)	saldo na koniec roku
1	0,00	3,50%	0,00	3 500,00	3 500,00
2	3 500,00	3,50%	122,50	3 500,00	7 122,50
3	7 122,50	3,50%	249,29	3 500,00	10 871,79
4	10 871,79	3,50%	380,51	3 500,00	14 752,30
5	14 752,30	3,50%	516,33	8 500,00	23 768,63
6	23 768,63	3,50%	831,90	3 500,00	28 100,53
7	28 100,53	3,50%	983,52	3 500,00	32 584,05
8	32 584,05	3,50%	1 140,44	3 500,00	37 224,49
9	37 224,49	3,50%	1 302,86	3 500,00	42 027,35
10	42 027,35	3,50%	1 470,96	3 500,00	46 998,31
11	46 998,31	3,50%	1 644,94	3 500,00	52 143,25
12	52 143,25	3,50%	1 825,01	3 500,00	57 468,26
13	57 468,26	3,50%	2 011,39	3 500,00	62 979,65
14	62 979,65	3,50%	2 204,29	3 500,00	68 683,94
15	68 683,94	3,50%	2 403,94	8 500,00	79 587,88
16	79 587,88	3,50%	2 785,58	3 500,00	85 873,45
17	85 873,45	3,50%	3 005,57	3 500,00	92 379,02
18	92 379,02	3,50%	3 233,27	3 500,00	99 112,29
19	99 112,29	3,50%	3 468,93	3 500,00	106 081,22
20	106 081,22	3,50%	3 712,84	3 500,00	113 294,06

Odnosząc się wyłącznie do liczb po dwudziestu latach uzyskujemy kapitał w wysokości 113.294,06
marek polskich. Jednak uwzględniając realia historyczne oszczędności kupca - bohatera zadania
gromadzone od roku 1921, zostałyby zjedzone przez hiperinflację, która doprowadziła do wymiany
marek na złotego po kursie 1.800.000 marek = 1 zł. Więc ci z Was, którzy bez liczenia odpowiedzieli
by, że kupiec nie zgromadzi niczego na swój sposób mieliby rację, choć pewnie egzaminator w roku 1921 uznałby to za odpowiedź niepoprawną.

Zadanie 3. (Matura 1925)

Osoba A wkłada z początkiem każdego roku r zł. na 4%, B zaś tę samą sumę z końcem każdego roku na 4% . Po 20 latach okazało się, że A posiada o 1191 zł. więcej niż B. Jaka była wkładka roczna?
Źródło: histmag.org.

Do rozwiązania tego zadania podejdę bardziej matematycznie. Kluczem jest dostrzeżenie, że osoba B
gromadzi kapitał z rocznym opóźnieniem w stosunku do osoby A. A zatem obie osoby wpłacają tę
samą kwotę K na ten sam procent (4% rocznie, kapitalizacja roczna), przy czym osoba A oszczędza
przez 20 lat, a osoba B przez 19 lat. Korzystając z wzoru na procent składany wiemy, że osoba A przez 20 lat zgromadzi:

K * (1+ 0,04)²⁰  + K * (1+ 0,04)¹⁹  + K * (1+ 0,04)¹⁸ + … +  K * (1+ 0,04) 

bo idąc od lewej odsetki od kwoty K wpłaconej w pierwszym roku będą skapitalizowana 20 razy, od
kwoty wpłaconej w drugim roku 19 razy itd., aż dojdziemy do kwoty wpłaconej w ostatnim roku,
która zostanie oprocentowana tylko raz (na końcu roku).

Osoba B, która oszczędza jeden rok krócej zgromadzi:

K * (1+ 0,04)¹⁹  + K * (1+ 0,04)¹⁸ + … +  K * (1+ 0,04).

Różnica pomiędzy oszczędnościami obu osób dotyczy wyłącznie wpłaty osoby A z pierwszego roku
(czyli tej, której odsetki zostaną skapitalizowane 20 razy) i wynosi 1.191 zł, czyli mamy równanie:

K * (1+ 0,04)²⁰ = 1.191 zł. z którego łatwo obliczyć, że K = 543,56 zł. 

Nie byłbym sobą, gdybym nie sprawdził obliczeń w Excelu. Ponownie budujemy dość prosty arkusz,
który wygląda tak:

a	b	c	d	e	f
		=b + f z roku -1		=c*d	=c+e
rok	wpłata na początku roku	saldo na początku roku	stopa procentowa	odsetki naliczane na koniec roku	saldo na koniec roku
1	543,56	543,56	4,00%	21,74	565,30
2	543,56	1 108,86	4,00%	44,35	1 153,22
3	543,56	1 696,78	4,00%	67,87	1 764,65
4	543,56	2 308,21	4,00%	92,33	2 400,54
5	543,56	2 944,10	4,00%	117,76	3 061,86
6	543,56	3 605,42	4,00%	144,22	3 749,64
7	543,56	4 293,20	4,00%	171,73	4 464,92
8	543,56	5 008,48	4,00%	200,34	5 208,82
9	543,56	5 752,38	4,00%	230,10	5 982,48
10	543,56	6 526,04	4,00%	261,04	6 787,08
11	543,56	7 330,64	4,00%	293,23	7 623,87
12	543,56	8 167,43	4,00%	326,70	8 494,12
13	543,56	9 037,68	4,00%	361,51	9 399,19
14	543,56	9 942,75	4,00%	397,71	10 340,46
15	543,56	10 884,02	4,00%	435,36	11 319,38
16	543,56	11 862,94	4,00%	474,52	12 337,46
17	543,56	12 881,02	4,00%	515,24	13 396,26
18	543,56	13 939,82	4,00%	557,59	14 497,41
19	543,56	15 040,97	4,00%	601,64	15 642,61
20	543,56	16 186,17	4,00%	647,45	16 833,62

I rzeczywiście różnica , jaka wynika z wpłacania kwoty 543,56 na 4% przez dwadzieścia i przez
dziewiętnaście lat wynosi 1.191,01. Ten grosik wynika z zaokrągleń i myślę, że Komisja Egzaminacyjna mi go łaskawie wybaczy.

Podobają się Wam takie zadania? Zapraszam do komentowania. Za tydzień opublikuję mały zbiorek ekonomicznych zadań z przedwojennej matury. Do zobaczenia.