072. Matura 1924 w Państwowym Gimnazjum im. Św. Marji Magdaleny w Poznaniu. Rozwiązanie zadania „ekonomicznego”.

Tytuł nie zawiera błędu. Zachowałem oryginalną pisownię nazwy szkoły, zgodną z dokumentami, a w szczególności „Sprawozdaniem dyrekcji […] za rok szkolny 1923/24”.

Przypomnę, że w poście 063 umieściłem pięć przedwojennych zadań maturalnych z matematyki, których treść - jako żywo – odnosi się do problemów ekonomicznych. Ogłosiłem też konkurs – Z NAGRODAMI – na rozwiązanie tych zadań. Rozwiązanie zadania 1 umieściłem w poście 069. Dziś rozwiązujemy zadanie 3. Zadania 2, 4 i 5 wciąż czekają na rozwiązania. Nagrody też.

Zadanie 3. (Matura 1924).

Ojciec zostawia dla dwojga dzieci kapitał K=20.000 zł, który opiekun umieszcza w banku na p=8%. Na wychowanie dzieci pobiera się z końcem każdego roku po a=1.800 zł., pozostałym zaś majątkiem dzielą się dzieci po n=10 latach. Ile otrzyma każde z nich?

Źródło: "Sprawozdanie dyrekcji Państwowego Gimnazjum Św. Marji Magdaleny w Poznaniu za rok szkolny 1923/24". (zadanie dla oddziału zreformowanego).

Komentarz do zadania.

Mamy 20.000 złotych w banku, ulokowane na 8%. Autor zadania nie pisze tego wprost, ale należy założyć, że jest to oprocentowanie w skali roku. Na koniec każdego roku będziemy mieć naliczenie odsetek i wypłatę stałej kwoty 1.800 „na wychowanie dzieci”. To będzie trwało dziesięć lat, a więc po dziesiątym roku zostaną jakieś pieniądze (zostałyby nawet, gdyby konto było nieoprocentowane), które zostaną wówczas podzielone między dwoje dzieci. Po ile dostaną?

Sytuacja w sumie życiowa, choć będąca prawdopodobnie następstwem jakiegoś nieszczęścia. W stosunku do dzisiejszych realiów mamy bardzo niską kwotę wypłat rocznych „na wychowanie dzieci”. Raptem 1,8 tys. zł. Szokuje za to stopa procentowa. Można by to zadanie uwspółcześnić w ten sposób, że wypłata następuje co miesiąc (to bardziej odpowiadałoby współczesnym kosztom życia), ale wówczas kapitał złożony w banku musiałby być o wiele większy, żeby zadanie miało sens.

Pierwszy laureat konkursu.

Rozwiązanie nadesłał Paweł, któremu zaproponowałem wybór jednej z trzech książek jako nagrody za trud maturalny: Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze"; Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking"; Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy". To tak, żebyście wiedzieli, że nagrody są na poważnie. Krótki opis tych książek na końcu posta.

Rozwiązanie Excelowe.

Paweł nadesłał rozwiązanie z wykorzystaniem Excela, które w całości zamieszczam poniżej. Nic dodać, nic ująć.

A jak to zadanie rozwiązałby matematyk?

Przedwojenny maturzysta z Excela skorzystać nie mógł. Musiał więc trudzić się korzystając z dorobku klasycznej (i w tym przypadku nieszczególnie trudnej) matematyki. Rozumowanie towarzyszące rozwiązaniu jest identyczne z rozwiązaniem innego zadania przedstawionego w poście 069. Dowodzi to, że autorzy przedwojennych zadań maturalnych kroczyli po tych samych ścieżkach myślowych.

Rozwiązujemy. Po pierwsze wyobrażamy sobie, że nie dokonujemy żądnych wypłat. Na rachunku do roku kumulowane są odsetki. Korzystamy z najprostszego wzoru na procent składany
wzór

I wychodzi nam, że po dziesięciu latach nasz kapitał urósłby do poziomu 43.178,50 zł.

Na marginesie: popatrzcie, jak działa oprocentowanie, jeśli wynosi 8% a nie jak dziś 2% lub mniej….

W realiach zadania wypłacamy jednak co roku po 1,8 tys. Te wypłaty pomniejszają nasz kapitał zarówno o swoją wartość nominalną, jak i o odsetki, które bank by naliczył, gdyby wypłata nie nastąpiła. Pierwsza wypłata kwoty 1,8 tys. ma dla naszych oszczędności także ten skutek, że nie otrzymamy odsetek od tej kwoty po drugim, trzecim i każdym kolejnym roku.

Na łączny ujemny efekt corocznych wypłat po 1,8 tys. złożą się więc:

·       Dla wypłaty po pierwszym roku: wartość nominalna 1,8 tys. i dziewięciokrotne naliczenie odsetek

·       Dla wypłaty po drugim roku: wartość nominalna 1,8 tys. i ośmiokrotne naliczenie odsetek

·       …

·       Dla wypłaty po dziesiątym roku: tylko wartość nominalna 1,8 tys., bo naliczania odsetek już nie będzie.

A to nic innego jak ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 1.800 i ilorazie 1,08. Łączny negatywny skutek wypłat to z matematycznego punktu widzenia suma pierwszych dziesięciu elementów tego ciągu:

co dla matematyka jest pestką, gdyż skorzysta ze wzoru:

I wyjdzie mu 26.075,81.

Podsumowując: gdyby trzymać kapitał w banku bez wypłat uzyskano by po dziesięciu latach kwotę 43.178,50 zł. Coroczne wypłaty po 1,8 tys. w sumie pomniejszą nasze oszczędności o 26.075,81 zł. (wliczony skutek odsetkowy). Czyli do podziału pomiędzy dzieci pozostanie 17.102,69, czyli po 8.551,335 na dziecko.

Trudno oprzeć się wrażeniu, że rozwiązanie takich problemów przy pomocy Excela jest dużo prostsze.

Konkurs trwa.

Zostało jeszcze trzy zadania. Zapraszam. Paweł wybierze jedną z trzech książek, ale inne czekają na kolejnych śmiałków.

1. Geshe Michael Roach "Diamentowe Ostrze" - spojrzenie na biznes z buddyjskiego punktu widzenia. Autor jest buddyjskim mnichem, który zaczął pracować w hurtowni diamentów i opisuje ten biznes z punktu widzenia tej religii. Buddystą nie jestem, ale książka jest OK.
2. Grzegorz Turniak, Roman Wendt "Profesjonalny networking" - książka o tym, jak budować i pielęgnować kontakty biznesowe. Turniak jest takim polskim guru networkingu, zarabia w ten sposób, że jest jakby wodzirejem na dużych spotkaniach biznesowych, więc wie o czym pisze. Poznałem go osobiście - ciekawy gość.
3. Katarzyna Kreczmańska-Gigol, Renata Pajewska-Kwaśny "Faktoring. Przewodnik dla przedsiębiorcy" - to taka kompleksowa książka o faktoringu (jednym z rodzajów finansowania przedsiębiorstw oferowanych przez banki). Na tle pierwszych dwóch propozycji ta książka zawiera najwięcej twardej wiedzy. Ale w dzisiejszych czasach naprawdę równie ważne co twarda wiedza są komunikacja (pozycja 2) i alternatywne spojrzenie na świat (pozycja 1).